Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

законом движения (т. е. связать кинематические и динамические элементы); приравнивая два различных выражения вектора, мы получим систему трех дифференциальных уравнений

с тремя неизвестными функциями x(t), y(t), z(t). Эту систему можно решить, и тогда обнаружится, что в полном согласии с кеплеровскими эмпирическими наблюдениями орбита планеты есть коническое сечение с Солнцем в одном из фокусов, что площади, описываемые в равные промежутки времени радиусом-вектором, проведенным от Солнца к планете, равны между собой и что квадраты периодов полного обращения двух планет вокруг Солнца пропорциональны кубам их расстояний от Солнца. Доказательство этих утверждений мы вынуждены опустить.

Задача о колебательном движении предоставляет более элементарную иллюстрацию метода Ньютона. Предположим, что мы имеем частицу, движущуюся по прямой линии, по оси x, и связанную с началом координат силой упругости, что можно, например, осуществить с помощью пружины или резинки.

Если частица выведена из положения равновесия (в начале координат) и помещена в некоторую точку с координатой x, то сила потянет ее назад. Мы предположим, что эта сила пропорциональна растяжению x; так как она направлена к началу координат, то представится в виде −k2x, где −k2 — отрицательный множитель пропорциональности, выражающий силу упругости пружины или резинки.

Мы предположим, далее, что налицо имеется трение, замедляющее движение, и что это трение пропорционально скорости x′ частицы с коэффициентом пропорциональности, равным −r. Тогда результирующая сила в любой момент времени выразится через −k2x − rx′, и, пользуясь общим принципом Ньютона, мы приходим к уравнению mx′′ = −k2x − rx′, или

mx′′ + rx′ + k2x = 0.

А это — не что иное, как рассмотренное выше дифференциальное уравнение (11) затухающих колебаний. Предыдущий простой пример имеет большое значение, так как многие колебания механических или электрических систем могут быть математически записаны с помощью именно этого дифференциального уравнения. Здесь мы имеем типичный пример того, как отвлеченная математическая формулировка одним ударом обнажает

Упражнения. 1) Постройте (т. е. запишите с помощью конкретных аналитических выражений) функцию f(x), график которой есть половина правильного шестиугольника.

2) Где расположены угловые точки графика

Каковы точки разрыва производной f′(x)?

В качестве простого примера недифференцируемости уже иного типа

приведем функцию

y = f(x) = x sin x1 ,

получаемую посредством умножения функции sin x1 (см. стр. 310) на мно-

житель x; положим, по определению, что f(x) = 0 при x = 0. Эта функция, график которой для положительных значений переменного x изображен на рис. 285, непрерывна в каждой точке. График колеблется бесконечно часто в окрестности точки x = 0, причем «волны» становятся бесконечно малыми, если мы приближаемся к нулю. Наклон этих волн дается формулой

f′(x) = sin x1 − x1 cos x1

(пусть читатель проверит это в качестве упражнения); при стремлении x к нулю этот наклон колеблется между все возрастающими положительной и отрицательной границами. Мы можем сделать попытку найти производную в точке x = 0, переходя к пределу при h → 0 в разностном отношении

Но при h → 0 это разностное отношение колеблется между −1 и +1 и не стремится ни к какому пределу, следовательно, функция не может быть продифференцирована в точке x = 0.

Эти примеры указывают на трудности, внутренне присущие самому вопросу. Вейерштрасс удивительно ярко проиллюстрировал положение вещей, построив непрерывную функцию, график которой не имеет производной ни в одной точке. В то время как дифференцируемость влечет за собой непрерывность, непрерывность, как показывает этот пример, отнюдь не влечет за собой дифференцируемости; в самом деле, функция Вейерштрасса всюду непрерывна, а вместе с тем нигде не дифференцируема. На практике трудности такого рода не встретятся. Обычно встречающиеся кривые являются «гладкими» (за исключением разве только отдельных изолированных точек), т. е. дифференцирование не только возможно, но даже сама производная является непрерывной. Что же в таком случае

того, что геометрическая интуиция обладает известной расплывчатостью, когда она применяется к таким общим аналитическим понятиям, как непрерывная функция. Мы начнем с построения суммы

промежутка, а vj — произвольное значение переменного x в этом частном промежутке, т. е. xj−1 6 vj 6 xj (мы можем взять, например, vj = xj или

vj = xj−1.)

Далее, мы образуем последовательность подобных сумм, в которых число n частных промежутков возрастает, причем длина максимального частного промежутка стремится к нулю. Тогда справедливо следующее основное положение: сумма Sn, составленная для данной непрерывной функции f(x), стремится к некоторому определенному пределу A, не зависящему от способа разбиения промежутка интегрирования и от выбора

точек vj. По определению, этот предел есть интеграл A = Rb f(x)dx. Ко-

a

нечно, существование этого предела должно быть аналитически доказано, если мы не хотим ссылаться на интуитивное геометрическое представление площади. Это доказательство приводится в каждом руководстве анализа, учитывающем требования математической строгости.

Сравнение дифференцирования и интегрирования приводит нас к следующему противопоставлению. Свойство дифференцируемости, несомненно, налагает ограничительное условие на класс всех непрерывных функций; вместе с тем фактическое выполнение операции дифференцирования сводится на практике к процедурам, основанным лишь на нескольких простых правилах. В противоположность этому каждая непрерывная функция без исключения интегрируема, так как обладает интегралом между любыми двумя данными пределами. Однако прямое вычисление интегралов, понимаемых как пределы сумм, даже в случае самых простых функций, вообще говоря, дело очень трудное. Но тут-то и оказывается, что основная теорема анализа во многих случаях становится решающим орудием при осуществлении интегрирования. И все же для большей части функций, в том числе даже для некоторых совершенно элементарных, интегрирование не дает простых явных выражений, и числовые выкладки для интегралов требуют более продвинутых методов.

3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой.

Оторвав аналитическое представление интеграла от его первоначальной геометрической интерпретации, мы встречаемся с целым рядом других, не

менее важных интерпретаций и приложений этого основного понятия. Например, в механике интеграл может быть интерпретирован как выражение работы. Достаточно будет разъяснить это на следующем простом примере. Предположим, что некоторая масса движется по оси x под влиянием силы, направленной вдоль этой оси. Будем считать, что вся масса сосредоточена в одной точке с координатой x и что сила задана как функция этой точки f(x), причем знак функции f(x) указывает на направление силы. Если сила постоянна и передвигает массу из точки a в точку b, то работа, произведенная ею, равна произведению величины силы f на пройденный массой путь: (b − a)f. Но если сила меняется вместе с изменением x, то придется определять общую произведенную работу с помощью предельного процесса (подобно тому, как мы прежде определяли скорость). Для этой цели мы разобьем промежуток от a до b, как и прежде, на мелкие частные промежутки точками x0 = a, x1, x2, . . . , xn = b; затем предположим, что в каждом частном промежутке сила остается постоянной и равной, скажем, величине f(xn), истинному значению силы в конечной точке, и вычислим работу, соответствующую такой «ступенчатой» силе:

n

Xn

Sn = f(xn) xn.

=1

Если мы теперь, как раньше, станем уменьшать промежутки деления, заставляя n неограниченно расти, мы увидим, что сумма будет стремиться к

интегралу

Zb

f(x)dx.

a

Таким образом, работа, совершаемая непрерывно меняющейся силой, определена с помощью интеграла.

Вчастности, рассмотрим массу m, связанную с началом координат x = 0 упругой пружиной. Сила f(x), согласно рассуждению на стр. 490,

будет пропорциональна x,

f(x) = −k2x,

где k2 — положительная постоянная. Тогда работа, совершенная этой силой при перемещении массы m из начала координат в точку b, выразится интегралом

Zb

(−k2x)dx = −k2 b22 ,

a

а работа, которую мы сами должны затратить при растяжении пружины до точки b, равна +k2 b22 .

Другое приложение общего понятия интеграла — это вычисление длины дуги кривой. Предположим, что рассматриваемая часть кривой представ-

лена функцией y = f(x), производная которой f′(x) = dydx также непрерыв-

ная функция. Для того чтобы определить длину, мы будем действовать точно так, как если бы нам надо было измерить длину кривой для практических целей при помощи линейки с делениями. Впишем в дугу AB ломаную линию с n маленькими сторонами, измерим общую длину (периметр) Ln этой ломаной и станем рассматривать эту длину как некоторое приближение; заставим n возрастать, а наибольшую из сторон ломаной — стремиться к нулю; тогда мы получим в качестве длины дуги AB следующий предел:

L = lim Ln.

(В главе VI этим же способом была получена длина окружности как предел периметра вписанного правильного n-угольника.) Можно доказать, что для достаточно гладких кривых этот предел существует и не зависит от того, каким образом выбирается последовательность вписанных ломаных. Те кривые, для которых это имеет место, называются спрямляемыми. Всякая «порядочная» кривая, встречающаяся в теории или ее приложениях,

(xj, yj = f(xj)), расположенными над точками деления. Длина одной из сторон ломаной выразится формулой

§ 1 ВОПРОСЫ ПРИНЦИПИАЛЬНОГО ПОРЯДКА 497

Если заставить теперь n стремиться к бесконечности, то разностное отно-

a

Не вдаваясь в дальнейшие подробности этих теоретических рассуждений, мы сделаем два дополнительных замечания. Во-первых, если точку B считать подвижной точкой на данной кривой с абсциссой x, то L = L(x) становится функцией переменного x, и, согласно основной теореме, мы

имеем формулу

L′(x) = dLdx = p1 + [f′(x)]2,

которую часто приходится применять. Во-вторых, хотя формула (2) и дает «общее» решение задачи нахождения длины дуги, все же она редко позволяет найти явное выражение этой длины в отдельных частных случаях. В самом деле, чтобы получить числовое значение длины дуги, мы должны подставить данную функцию f(x), или, точнее, f′(x), в формулу (2) и тогда осуществить фактическое интегрирование полученного выражения. Но здесь возникают, вообще говоря, непреодолимые трудности, если мы ограничим себя областью элементарных функций, рассмотренных в этой книге.

Для случая параболы y = x2 мы имеем f′(x) = 2x, а длина дуги от x = 0 до x = b равна

Zb √1 + 4x2 dx.

a

Для кривой y = ln sin x мы имеем f′(x) = ctg x, и длина дуги выражается

интегралом

Zb p

1 + ctg2 x dx.

a

Мы удовольствуемся лишь простым написанием этих интегральных выражений. Их можно было бы вычислить, применяя несколько более развитую технику интегрирования, чем та, которая имеется в нашем распоряжении, но мы не пойдем дальше в этом направлении.

§2. Порядки возрастания

1.Показательная функция и степени переменного x. В математи-

ке мы постоянно встречаемся с последовательностями чисел an, которые имеют бесконечный предел. Часто бывает нужно сравнить такую после-

довательность с другой последовательностью, например, чисел bn, тоже стремящихся к бесконечности, но, может быть, «быстрее», чем последовательность чисел an. Уточним это понятие: мы скажем, что bn стремится

кбесконечности быстрее, чем an, или bn имеет более высокий порядок

возрастания, чем an, если отношение an (в котором как числитель, так bn

и знаменатель стремятся к бесконечности) стремится к нулю при возрастании n. Например, последовательность bn = n2 стремится к бесконечности быстрее, чем последовательность an = n, а эта последовательность, в свою очередь, быстрее, чем последовательность cn = √n, так как

отличной от нуля, то мы говорим, что обе последовательности an и bn

стремятся к бесконечности с одинаковой скоростью или что они имеют одинаковый порядок возрастания. Так, например, an = n2 и bn = = 2n2 + n имеют один и тот же порядок возрастания, потому что

Могла бы возникнуть мысль, что возрастание любой последовательности an с бесконечным пределом может быть «измерено» с помощью степеней ns так же, как любой отрезок может быть измерен с помощью линейки с делениями. Стоило бы только для этого найти подходящую

§ 2 ПОРЯДКИ ВОЗРАСТАНИЯ 499

степень ns с тем же порядком возрастания, что и an, т. е. такую, что отношение anns стремится к некоторой конечной, отличной от нуля постоянной. Но

совершенно замечательным является то обстоятельство, что осуществить это отнюдь не всегда возможно — хотя бы потому, что показательная функция an при a > 1 (например, en) стремится к бесконечности быстрее, чем какая бы то ни было степень ns, как бы велик ни был показатель s; с другой стороны, функция ln n стремится к бесконечности медленнее, чем какая бы то ни было степень ns, как бы

при n → ∞. Заметим, что показатель степени s — не обязательно целое число; он может быть любым фиксированным положительным числом.

Для того чтобы доказать соотношение (1), мы упростим наше утверждение тем, что извлечем из соотношения (1) корень степени s; ясно, что вместе с корнем стремится к нулю и подкоренное выражение. Итак, нам остается только доказать, что

где q положительно. Теперь, в силу неравенства (6) на стр. 40,

Так как выражение справа стремится к нулю при n → ∞, доказательство закончено.

Нужно заметить, что соотношение