Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

504 ДОПОЛНЕНИЕ гл. VIII

Для того чтобы это доказать, выберем некоторое фиксированное чис-

Поскольку члены этих рядов, меняя поочередно знаки, убывают по величине (по крайней мере, при |x| 6 1), то ошибки, совершаемые при обрывании каждого из рядов на некотором члене, не превышают по абсолютной величине первого из отброшенных членов.

Если ограничиться выписанными двумя членами, то совершаемая при этом ошибка

где Cas — «биномиальный коэффициент»

Ca = a(a − 1)(a − 2) . . . (a − s + 1) .

s s!

Если a = n есть целое положительное число, то Can = 1, и в формуле (11) все коэффициенты Cas при s > n обращаются в нуль, так что мы просто получаем конечную формулу обыкновенной биномиальной теоремы. Одно из крупных открытий Ньютона, сделанных им в начале его деятельности, заключалось в том, что он обобщил биномиальную теорему на случай всех возможных значений показателя a как положительных, так и отрицательных, как рациональных, так и иррациональных. Если a не есть целое положительное число, то правая часть формулы (11) дает бесконечный ряд, сходящийся к значению, равному левой части, при −1 < x < +1. Если же |x| > 1, то ряд (11) расходится, и знак равенства теряет всякий смысл.

§ 3 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 505

Подобно другим математикам XVIII в., Ньютон не дал настоящего доказательства своей формулы. Удовлетворительный анализ сходимости и пределы, в которых разложение оказывается справедливым, не были установлены для подобных рядов вплоть до XIX в.

Разложения (4)–(11) являются частными случаями общей формулы Брука Те й л о р а (1685–1731), дающей разложение функции f(x) в сте-

Подмечая закон, выражающий коэффициенты этого ряда cj с помощью функции f(x) и ее производных, можно утверждать справедливость этого разложения для очень обширного класса функций.

Здесь невозможно привести строгое доказательство формулы Тейлора; невозможно также точно сформулировать условия, при которых она справедлива. Но следующие общедоступные соображения прольют некоторый свет на относящиеся сюда взаимоотношения и существенные факты.

Допустим предварительно, что разложение (13) возможно. Далее предположим, что функция f(x) дифференцируема, что ее производная f′(x) дифференцируема, и так далее, так что существует бесконечная последовательность производных

f′(x), f′′(x), . . . , f(n)(x), . . .

Наконец, будем дифференцировать бесконечный степенной ряд почленно точно так, как если бы это был конечный многочлен, не озабочиваясь вопросом о законности такой процедуры. После всех этих допущений можно определить коэффициенты cn, зная поведение функции f(x) в окрестности точки x = 0. Прежде всего, подставляя в формулу (13) x = 0, мы находим

снова подставляя значение x = 0, но на этот раз в формулу (13′), мы

находим

c1 = f′(0).

подставляя затем в полученную формулу (13′′) x = 0, мы видим, что 2!c2 = f′′(0).

Аналогично, продифференцировав (13′′) и затем подставив x = 0, получаем 3!c3 = f′′′(0)

и, продолжая дальше таким же образом, мы найдем общую формулу для коэффициента cn:

cn = n1! f(n)(0),

где f(n)(0) представляет собой значение n-й производной от функции f(x) при x = 0. В результате получим ряд Тейлора

Пусть читатель в качестве упражнения проверит, что в примерах (4)–(11) коэффициенты степенных рядов составлены как раз по этому закону.

2. Формула Эйлера cos x + i sin x = eix . Одним из самых поразительных достижений Эйлера, полученных им на основе его формалистических манипуляций, является открытие тесной внутренней связи, существующей в области комплексного переменного между функциями синус и косинус, с одной стороны, и показательной функцией — с другой. Нужно заранее указать, что ни «доказательство» Эйлера, ни следующие далее доводы ни в какой мере не носят строгого характера; это — типичные для XVIII в. примеры формальных буквенных выкладок, пронизанных доверием к силе математического символизма.

Начнем с тождества Муавра, доказанного в главе II: (cos nf + i sin nf) = (cos f + i sin f)n.

Подстановка f = nx приводит нас к соотношению

cos x + i sin x = cos nx + i sin nx n .

Если x зафиксировано, то cos nx будет мало отличаться от cos 0 = 1 при неограниченном возрастании n; кроме того, так как

n

§ 3 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 507

Преобразуя правую часть этого равенства согласно формуле (стр. 478)

Это и есть результат, полученный Эйлером.

Мы можем вывести эту самую формулу и другим, тоже формалистическим путем — из разложения функции ez:

ez = 1 + z + z2 + z3 + . . . ,

1! 2! 3!

вместо z подставляя ix, где x — действительное число. Если мы вспомним, что последовательными степенями числа i являются числа i, −1, −i, +1 и т. д., периодически, то, собирая действительные и мнимые части, мы получим

заменяя далее ряды в правой части их суммами cos x и sin x, мы снова получаем формулу Эйлера.

Такое рассуждение отнюдь не является настоящим доказательством соотношения (15). Против нашего второго «вывода» можно возразить, что разложение в ряд для функции ez было проведено в предположении, что z — действительное число; поэтому подстановка z = ix должна быть оправдана дополнительными соображениями. Точно так же полноценность первого рассуждения уничтожается тем, что формула

была раньше выведена только для действительных значений z.

Чтобы формула Эйлера из области чистого формализма перешла в область строгих математических истин, потребовалось развитие теории функций комплексного переменного — одного из величайших достижений XIX в. Многие другие глубокие проблемы стимулировали это далеко идущее развитие. Мы видели, например, что промежутки сходимости разложений различных функций в степенные ряды различны. Почему некоторые разложения сходятся всюду, т. е. для всех значений x, в то время как другие теряют смысл при |x| > 1?

Рассмотрим, например, геометрическую прогрессию (4), приведенную на стр. 502, которая сходится при |x| < 1. Левая часть этого равенства

в правой части ведет себя очень странно: он принимает вид 1 − 1 + 1 − − 1 + . . .

Этот последний ряд не является сходящимся, поскольку его частные суммы колеблются между 1 и 0. Это свидетельствует о том, что функция может порождать расходящийся ряд даже в том случае, если сама она не

вится бесконечной при x = −1. И так как легко доказать, что сходимость степенного ряда в точке x = a > 0 влечет за собой сходимость в промежутке −a < x < a, то мы могли бы, пожалуй, усмотреть «объяснение»

как мы убеждаемся, подставляя x2 вместо x в формулу (4). Полученный ряд тоже сходится при |x| < 1; вместе с тем при x = 1 он снова приводит к ряду 1 − 1 + 1 − 1 + . . ., а при |x| > 1 он резко расходится, и однако же сама функция всюду ведет себя безупречно.

Оказывается, что полное объяснение этим явлениям возможно лишь тогда, когда функции изучаются в области комплексных значений переменного x, охватывающей как действительные, так и мнимые его значения.

1

Например, ряд для функции 1 + x2 должен расходиться при x = i, так как

знаменатель дроби при этом значении переменного равен нулю. Отсюда следует, что ряд должен расходиться при всех таких значениях x, что |x| > |i| = 1, поскольку можно доказать, что сходимость его для одного такого значения x повлекла бы за собой его сходимость при x = i. Таким образом, вопрос о сходимости рядов, которым полностью пренебрегали в период возникновения анализа, стал одним из главных факторов создания теории функций комплексного переменного.

3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения. Ряды, члены которых являются простыми комбинациями целых чисел, особенно интересны. В качестве примера рассмотрим «гармонический ряд»

отличающийся от известного нам ряда, сумма которого равна ln 2, только знаками членов, стоящих на четных местах.

Поставить вопрос, сходится ли этот ряд, все равно, что спросить себя, стремится ли к конечному пределу последовательность чисел

Несмотря на то, что по мере продвижения по ряду (16) члены его приближаются к 0, легко увидеть, что ряд этот не сходится. Действительно, взяв достаточное количество членов, мы можем превысить любое положительное число; таким образом, sn возрастает беспредельно, и, значит, ряд (16) «расходится к бесконечности». Чтобы в этом убедиться, заметим, что

Таким образом, например, частные суммы s2m превышают 100, если только m > 200.

Если гармонический ряд расходится, то, с другой стороны, можно до-

сходится при всяком значении s, большем чем 1, и сумма его, рассматриваемая какz функция переменного s, есть так называемая дзета-функция:

Эта функция, очевидно, определена только при s > 1.

Существует важное соотношение между дзета-функцией и простыми числами, которое мы выведем, исходя из свойств геометрической прогрессии. Пусть p есть какое-нибудь простое число; тогда при s > 1