Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

*5. Дифференцируемость и непрерывность. Необходимым условием дифференцируемости некоторой функции является ее непрерывность. В самом деле, если существует предел дифференциального

функции f(x) должно становиться неограниченно малым при стремлении x к нулю. Каждая дифференцируемая функция неизбежно является в то же время и непрерывной; поэтому, встречаясь в этой главе не раз

сдифференцируемыми функциями, мы воздерживаемся от того, чтобы без особой необходимости постоянно упоминать, что они предполагаются непрерывными, или доказывать их непрерывность.

6.Производная и скорость. Вторая производная и ускорение. До сих пор понятие производной мы связывали с геометрическим представлением графика функции. Однако было бы грубой ошибкой ограничивать роль понятия производной одной лишь задачей об определении наклона касательной к данной кривой. Еще более важной с научной точки зрения задачей является вычисление скорости изменения какой бы то ни было величины f(t), меняющейся с течением времени. Именно с этой стороны Ньютон и подошел к дифференциальному исчислению. В частности, Ньютон стремился проанализировать явление скорости, рассматривая время и положение движущейся частицы как переменные величины (по выражению Ньютона, «флюэнты»). Когда некоторая частица движется вдоль оси x, то ее движение вполне определено, раз задана функция x = f(t), указывающая положение частицы x в любой момент времени t. «Равномерное движение»

спостоянной скоростью b по оси x определяется линейной функцией x = = a + bt, где a есть положение частицы в начальный момент (при t = 0).

Движение частицы на плоскости описывается уже двумя функциями

x = f(t), y = g(t),

которые определяют ее координаты как функции времени. В частности, равномерному движению соответствуют две линейные функции

где b и d — две «компоненты» постоянной скорости, а a и c — координаты начального положения частицы (при t = 0); траекторией частицы является прямая линия, уравнение которой

(x − a)d − (y − c)b = 0

получается путем исключения t из двух стоящих выше соотношений.

Если частица движется в вертикальной плоскости x, y под действием одной лишь силы тяжести, то движение ее (это доказывается в элементарной физике) определено двумя уравнениями

x = a + bt, y = c + dt − 21 gt2,

где a, b, c, d — постоянные величины, зависящие от состояния частицы в начальный момент, а g — ускорение силы тяжести, равное приблизительно 9,81, если время измеряется в секундах, а расстояние — в метрах. Траектория движения, получаемая путем исключения t из двух данных уравнений, есть парабола

если только b 6= 0; в противном случае траекторией является отрезок вертикальной оси.

Если частица вынуждена двигаться по некоторой данной кривой (подобно тому как поезд движется по рельсам), то движение ее может быть определено функцией s(t) (функцией времени t), равной длине дуги s, вычисляемой вдоль данной кривой от некоторой начальной точки P0 до положения частицы в точке P в момент времени t. Например, если речь идет о единичном круге x2 + y2 = 1, то функция s = ct определяет на этом круге равномерное вращательное движение со скоростью c.

* Упражнение. Начертите траектории плоских движений, заданных уравнениями: 1) x = sin t, y = cos t; 2) x = sin 2t, y = cos 3t; 3) x = sin 2t, y = 2 sin 3t; 4) в описанном выше параболическом движении предположите начальное положение частицы (при t = 0) в начале координат и считайте b > 0, d > 0. Найдите координаты самой высокой точки траектории. Найдите время t и значение x, соответствующие вторичному пересечению траектории с осью x.

Первой целью, которую поставил себе Ньютон, было нахождение скорости частицы, движущейся неравномерно. Рассмотрим для простоты движение частицы вдоль некоторой прямой линии, заданное функцией x = f(t). Если бы движение было равномерным, т. е. совершалось с постоянной скоростью, то эту скорость можно было бы найти, взяв два момента времени t и t1 и соответствующие им положения частиц f(t) и f(t1) и составив отношение

Например, если t измерено в часах, а x в километрах, то при t1 − t = 1 разность x1 − x будет число километров, пройденных за 1 час, а v — скорость (километров в час). Говоря, что скорость есть величина постоянная,

452 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

имеют в виду лишь то, что разностное отношение

не изменяется при любых значениях t и t1. Но если движение неравномерно (что имеет, например, место при свободном падении тела, скорость которого по мере падения возрастает), то отношение (4) не дает значения скорости в момент t, а представляет собой то, что принято называть средней скоростью в промежутке времени от t до t1. Чтобы получить скорость в момент t, нужно вычислить предел средней скорости при стремлении t1 к t. Таким образом, вместе с Ньютоном определим скорость так:

Другими словами, скорость есть производная от «пройденного пути» (координаты частицы на прямой) по времени, или «мгновенная скорость изменения» пути по отношению ко времени — в противоположность средней скорости изменения, определяемой по формуле (4).

Скорость изменения самой скорости называется ускорением. Ускорение — это просто производная от производной; она обычно обозначается символом f′′(t) и называется второй производной от функции f(t).

Галилей заметил, что вертикальное расстояние x, проходимое при свободном падении тела в течение времени t, выражается формулой

где g есть ускорение силы тяжести. Из формулы (6), путем дифференцирования ее, можно получить скорость v тела в момент времени t; эта скорость выражается формулой

а ускорение a, которое постоянно,a — формулой

= f′′(t) = g.

Предположим, что нужно найти скорость тела через 2 секунды после начала падения. Найдем сначала среднюю скорость за промежуток времени от t = 2 до t = 2,1:

Подставляя же в формулу (7) значение t = 2, мы найдем, что значение мгновенной скорости в конце второй секунды равно 19,62 (метров в секунду).

Упражнение. Какова средняя скорость тела за промежуток времени от t = 2 до t = 2,01, от t = 2 до t = 2,001?

При движении точки на плоскости две производные f′(t) и g′(t) двух функций x = f(t) и y = g(t) определяют компоненты скорости. При движении вдоль заданной кривой скорость нужно определить как производную от функции s = f(t), где s — длина дуги.

7. Геометрический смысл второй производной. Вторая производная f′′(x) имеет также важное значение в анализе и в геометрии; в самом деле, представляя собой скорость изменения наклона f′(x) кривой y = = f(x), вторая производная дает указание на то, как изогнута кривая. Если в некотором промежутке вторая производная больше нуля, то скорость изменения наклона f′(x) положительна. Положительный знак скорости изменения некоторой функции указывает на то, что эта функция возрастает с возрастанием аргумента x. Следовательно, неравенство f′′(x) > 0 указывает на то, что наклон f′(x) есть возрастающая функция x и, значит, при увеличении x кривая становится более крутой там, где наклон ее положителен, и более пологой там, где наклон отрицателен. Условимся говорить, что в этом случае кривая вогнута (рис. 270). Аналогично, если f′′(x) < 0, то будем говорить, что кривая y = f(x) выпукла (рис. 271).

и выпукла при x < 0 (рис. 153); это видно по ее второй производной, f′′(x) = 6x, в чем читатель может легко убедиться сам. Между прочим, при x = 0 имеем f′(x) = 3x2 = 0 (но нет ни минимума, ни максимума!), а также f′′(x) = 0 при x = 0. Эта точка называется точкой перегиба. В точках, которые так называются, касательная (в данном случае ось x) пересекает кривую.

Мы умеем теперь дифференцировать любую функцию, являющуюся отношением двух многочленов. Например,

Упражнение. Продифференцируйте функцию f(x) = x1m = x−m, предполагая m целым положительным. Результат: f′(x) = −mx−m−1.

г) Дифференцирование обратных функций. Если функции y = f(x) и x = g(y)

взаимно обратны (например, y = x2 и x = √y), то производная одной из них является обратной величиной по отношению к производной другой. Именно,

.

Это утверждение легко доказать, если обратиться ко взаимно обратным

ческой интерпретации обратных функций, приведенной на стр. 308, если отнести наклон касательной к оси y, а не к оси x.

В качестве примера продифференцируем функцию

√

y = f(x) = m x = x1/m,

обратную по отношению к функции x = ym (см. также более полное рассуждение, относящееся к случаю m = 21 , на стр. 448). Поскольку функция x = ym имеет своей производной выражение mym−1, то мы имеем

откуда, делая подстановки y = x1/m и y−m = x−1, получим: f′(x) = m1 x1/m−1.

В качестве следующего примера продифференцируем обратную тригонометрическую функцию (см. стр. 308)

y = arctg x (что равносильно x = tg y).

458 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

Для того чтобы обеспечить однозначное определение функции y, пред-

Таким же точно путем читатель сможет вывести следующие формулы:

Наконец, мы приходим к следующему важному правилу:

д) Дифференцирование сложных функций. Сложные функции составляются из двух (или нескольких) простых (см. стр. 309). Например функция z = sin √x составлена из функций z = sin y и y = √x; функция z = √x + √x5 составлена из функций z = y + y5 и y = √x; функция z =

где y1 = f(x1) и z1 = g(y1) = k(x1); при стремлении x1 к x левая часть стремится к k′(x), а два множителя в правой части стремятся соответственно к g′(y) и к f′(x), чем и доказывается формула (4).