Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

480 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

логарифма. Действительно, имея дело с произведением p(x) = f1(x)f2(x) . . . fn(x),

можно написать

и дальше, с помощью формулы дифференцирования сложных функций, отсюда

5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов. Числовые значения логарифмов вычисляются отнюдь не с помощью формулы (15). Гораздо лучше приспособлено для этой цели совершенно иное, более полезное, явное выражение, имеющее, кроме того, большое теоретическое значение. С помощью метода, примененного на стр. 470 при вычислении p, мы получим это выражение, опираясь на определение логарифма по формуле (1). Но здесь необходим один предварительный шаг: вместо функции ln x рассмотрим функцию y = ln(1 + x), составленную из функций y = ln z и z = 1 + x. Имеем:

dy dy dz 1 1 dx = dz · dx = z · 1 = 1 + x .

Итак, функция y = ln(1 + x) является первообразной по отношению к

(Эту формулу можно было бы, конечно, получить и интуитивно из геометрической интерпретации логарифма как площади. Сравните с рассуждением на стр. 472.)

В формулу (16) подставим вместо (1 + u)−1 сумму геометрической прогрессии, как мы это делали на стр. 470, а именно

из осторожности мы предпочитаем оперировать не с бесконечным рядом, а с конечной суммой и остаточным членом, который равен

Rn = (−1)n 1 un u .

+

§ 6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ) ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМ 481

Подставив эту сумму в формулу (16), можно применить правило почленного интегрирования конечной суммы. Интеграл от степени us в пределах

xs+1

от 0 до x равен s + 1 ; таким образом, мы получим немедленно

Покажем теперь, что Tn стремится к нулю при возрастании n, предварительно условившись, что переменное x может быть лишь больше −1 и не превышать +1, т. е., другими словами, что выполнено неравенство

−1 < x 6 1

(заметим, что x = +1 включается, в то время как x = −1 не включается). Согласно нашему предположению, в промежутке интегрирования переменное u больше, чем некоторое число −a, которое может быть близко к −1, но во всяком случае больше, чем −1, так что −1 < −a < u. Отсюда следует 0 < 1 − a < 1 + u. Поэтому при условии, что u заключено в промежутке от 0 до x, имеет место неравенство

Поскольку число 1 − a является постоянным, мы видим, что выражение, стоящее справа, а следовательно, и стоящее слева |Tn|, при возрастании n стремится к нулю; значит, из неравенства

вытекает, что при −1 < x 6 1 справедливо равенство

Подставляя, в частности, x = 1, получаем любопытную формулу

Эта формула по своей структуре похожаp на выведенную раньше формулу, представляющую в виде ряда число 4 .

482 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

Ряд (18) не имеет большого практического значения для вычисления логарифмов, потому что область изменения величины 1 + x ограничена промежутком от 0 до 2, а также по той причине, что сходимость ряда очень медленная: пришлось бы брать много членов, чтобы получить скольконибудь точный результат. При помощи следующего приема мы получим выражение, практически более удобное. Вместо x в формулу (18) подста-

Вычитая, далее, формулу (20) из формулы (18) и применяя преобразование

Этот ряд сходится быстрее, и, кроме того, левая часть формулы может теперь выразить логарифм любого положительного числа z, так как урав-

нение 1 + x = z имеет при любом положительном z решение x, заключен-

1 − x

ное между −1 и +1. Например, если нам нужно вычислить ln 3, то мы положим x = 21 и тогда получим

спятью значащими цифрами.

§7. Дифференциальные уравнения

1.Определения. Главенствующая роль, которую показательные и тригонометрические функции играют в математическом анализе и его применениях к задачам физики, основывается на том, что эти функции являются решениями простейших «дифференциальных уравнений».

Дифференциальным уравнением относительно неизвестной функции u = f(x) с производной u′ = f′(x) (обозначение u′ очень удачно сокращает обозначение f′(x), поскольку величина u и ее формальная зависимость от x как функции f(x) не нуждаются в особенном подчеркивании) называется

уравнение, содержащее функцию u, производную u′ и, может быть, независимое переменное x, как, например,

u′ = u + sin(xu)

или

u′ + 3u = x2.

В более общем случае дифференциальное уравнение может содержать вторую производную u′′ = f′′(x) или производные более высокого порядка, как, например, уравнение

u′′ + 2u′ − 3u = 0.

Во всех подобных случаях задачей является нахождение функции u = f(x), удовлетворяющей данному уравнению.

Решение дифференциальных уравнений есть широкое обобщение задачи интегрирования, понимаемой как нахождение первообразной функции по заданной функции g(x): последнее сводится к решению простейшего дифференциального уравнения

u′ = g(x).

Например, решениями дифференциального уравнения u′ = x2

являются функции u = x3 + c, где c — произвольное постоянное.

3

2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты. Показательная функция u = ex является решением дифференциального уравнения

так как производная от показательной функции равна самой показательной функции. И вообще, функция u = cex, где c — произвольное постоянное, есть решение уравнения (1). Аналогично, функция

где c и k — две какие-нибудь постоянные, есть решение дифференциаль-

Обратно, всякая функция u = f(x), удовлетворяющая уравнению (3), имеет вид (2). В самом деле, пусть функции x = h(u) и u = f(x) взаимно обратные; в таком случае, следуя правилам дифференцирования обратной функции,

найдем

h′ = u1′

484 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

Функцией, первообразной по отношению к найденной производной ku1 ,

является функция lnku ; итак, x = h(u) = lnku + b, где b — некоторое по-

стоянное. Отсюда

ln u = kx − bk

и

u = ekx · e−bk.

Полагая постоянную величину e−bk равной c, получим u = cekx,

как и нужно было предвидеть.

Большое значение уравнения (3) заключается в том, что оно «регулирует» физические процессы, в которых количество u какого-нибудь вещества представляет собой функцию времени

u= f(t)

ипритом изменяется таким образом, что скорость изменения в каждый момент пропорциональна количеству u вещества, имеющегося налицо. В этом случае скорость изменения в момент t, т. е.

u′ = f′(t) = lim f(t1) − f(t) , t1 − t

равна ku, где k — постоянный коэффициент пропорциональности, положительный, если u возрастает, и отрицательный, если u убывает. В обоих случаях функция u удовлетворяет дифференциальному уравнению (3); сле-

довательно, она имеет вид

u = cekt .

Постоянная c определена, если известно количество вещества u0, имевшееся налицо в начальный момент, т. е. при t = 0. Величину u0 мы должны получить при подстановке t = 0 в уравнение (2):

u0 = ce0 = c;

отсюда и получается

Следует обратить внимание на то, что мы исходим из предположения, что задана скорость изменения величины u, и выводим закон (4), который позволяет вычислить фактическое количество вещества u в любой момент времени t. Эта задача как раз противоположна задаче нахождения производной от какой-нибудь функции.

Типичным примером явления указанного типа можно считать распад некоторого радиоактивного вещества. Пусть u = f(t) есть количество вещества в момент времени t; если принять гипотезу, что каждая индивидуальная частица вещества имеет некоторую определенную вероятность

§ 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 485

распада и что эта вероятность не зависит от присутствия других частиц, то скорость, с которой количество u будет распадаться в данный момент времени t, будет пропорциональ-

ствительно, если u1 есть количество вещества, имеющегося в момент времени t1, а u2 — в некоторый последующий момент времени t2, то

u2 = u0ekt2 = ek(t2−t1), u1 u0ekt1

и последнее выражение зависит только от разности t2 − t1. Вычислим, например, сколько времени потребуется для того, чтобы в процессе распада

Напротив, зная s, можно определить k: k = −lns2 .

Для каждого радиоактивного вещества значение s носит название «периода

полураспада». Число s или некоторое аналогичное например такое, как

значение r, при котором u2 = 999 может быть найдено эксперименталь- u1 1000

ным путем. Для радия «период полураспада» равен приблизительно 1550 годам, следовательно,

ln 1

k = 15502 = −0,0000447.

Отсюда мы находим, что

u = u0e−0,0000447t.

Примером закона, близкого к рассмотренному только что закону показательной функции, может служить явление так называемых сложных процентов. Пусть некоторый капитал u0 (долларов) отдан в рост из расчета 3% (сложных) в год. По истечении одного года капитал станет равным

Теперь, если начисление процентов происходило бы не один раз в год, а один раз в месяц, или, вообще, один раз в n-ю часть года, то по истечении t лет наращенный капитал выразился бы формулой

Если предположить, что число n очень велико, так что проценты присчитываются ежедневно или даже ежечасно, то, воображая, что n стремится

кбесконечности, мы заметим, что величина, стоящая в скобках, стремится

кe0,03 согласно сказанному в § 6, и в пределе капитал по истечении t лет выразится формулой

что соответствует процессу непрерывного присчитывания сложных процентов. Можно также вычислить время s, нужное для того, чтобы удвоить основной капитал, отданный в рост по 3 сложных непрерывно начисляемых

удвоился бы по истечении приблизительно 23 лет.

Вместо того чтобы шаг за шагом проделывать описанную выше процедуру и затем переходить к пределу, мы могли бы получить формулу (7), просто сказав, что скорость u′ возрастания капитала u пропорциональна этому капиталу, с коэффициентом пропорциональности k = 0,03, согласно дифференциальному уравнению

u′ = ku, где k = 0,03.

Тогда формула (7) вытекала бы непосредственно из общей формулы (4).

где k — положительная константа, является решением дифференциального уравнения

u′ = −2kxu.

Функция (8) играет большую роль в теории вероятностей и в статистике, выражая, как говорят, «нормальный» закон распределения.

Тригонометрические функции u = cos t и v = sin t также удовлетворяют простому дифференциальному уравнению. Прежде всего обратим внимание на соотношения

u′ = − sin t = −v, v′ = cos t = u,

образующие «систему двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями». Дифференцируя вторично, мы находим

u′′ = −v′ = −u, v′′ = u′ = −v;

таким образом, обе функции u и v временного переменного t могут рассматриваться как решение одного и того же дифференциального уравнения

Это — очень простое дифференциальное уравнение «второго порядка», т. е. уравнение, содержащее вторую производную от функции z. Оно, или, лучше сказать, его обобщение, содержащее положительную постоянную k2,

(решениями которого являются функции z = cos kt и z = sin kt), постоянно встречается при изучении теории колебаний, и потому «синусоидальные» кривые u = sin kt и u = cos kt (рис. 280) в высшей степени интересуют всех, кто занимается конструкцией механизмов, совершающих или порождающих колебательные движения.

Следует заметить, что дифференциальное уравнение (10) представляет «идеальный» случай, когда трение или сопротивление предполагаются отсутствующими.

В дифференциальном уравнении колебательного движения сопротивление выражается лишним членом, а именно rz′, так что уравнение имеет вид

его решениями являются «затухающие» колебания, выражающиеся математически с помощью формулы

что графически представлено на рис. 281. (В качестве упражнения читатель пусть проверит правильность этих решений путем дифференцирования.) Затухающие колебания того же самого типа, что и обыкновенные синусоиды или косинусоиды, но с течением времени их размах уменьшается вследствие присутствия показательного множителя, убывающего более или менее быстро, в зависимости от величины коэффициента трения r.

z

1

−1

z = sin 2t z = sin 3t

Рис. 280. Гармонические колебания

4. Закон движения Ньютона. Хотя более подробный анализ подобных явлений нами не предусмотрен, мы все же хотим включить их в общую схему, на основе которой Ньютон произвел подлинную революцию в механике и физике.

Рассмотрим вместе с Ньютоном движение некоторой частицы, имеющей массу m; обозначим ее пространственные координаты, являющиеся функциями времени t, через x(t), y(t), z(t); таким образом, компоненты ускорения равны вторым производным x′′(t), y′′(t), z′′(t). В истории науки фактом решающего значения оказалось осознание Ньютоном того, что величины mx′′, my′′, mz′′ могут быть рассматриваемы как компоненты силы, действующей на частицу. С первого взгляда может показаться, что в этой формулировке содержится всего лишь формальное определение понятия «силы». Но большой успех Ньютона заключается в том, что он первый привел это определение в соответствие с действительными явлениями природы: дело обстоит так, как будто бы сама природа предоставляла силовое «поле», которое мы можем считать известным, тогда как нам

z

z = e− rt2

z = e− rt2 sin wt

z = −e− rt2

Рис. 281. Затухающее колебание

ничего не известно заранее об интересующем нас движении частицы в этом поле. Величайший триумф ньютоновской динамики — обоснование законов Кеплера о движении планет — ясно показывает полную гармонию между математическими концепциями Ньютона и явлениями природы. Прежде всего Ньютон предположил, что сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния. Если мы допустим, что Солнце находится в начале координатной системы, и примем величины x, y, z за координаты данной планеты, то компоненты силы по направлениям трех координатных осей будут равны соответственно

−k · rx3 , −k · ry3 , −k · rz3 ,

где r = px2 + y2 + z2 есть расстояние от Солнца до планеты, а k — постоянная тяготения, не зависящая от времени. Эти выражения определяют силовое поле независимо от движения в нем частицы. Известные нам данные, характеризующие это поле, нужно связать с общим ньютоновым