Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

что треугольник ABC изображает комнату с зеркальными стенами, то высотный треугольник определяет единственный треугольный контур, который может быть образован световым лучом. Другие замкнутые многоугольные контуры также не исключены, как показывает рис. 203, но высотный треугольник

имеет три стороны.

Обобщим рассматриваемую проблему и спросим себя о возможных «световых треугольниках» в произвольной области, огра-

ниченной одной или несколькими гладкими кривыми; точнее говоря, нас интересуют треугольники, вершины которых лежат на заданных кривых, а каждые две прилежащие стороны образуют равные углы с соответствующей кривой. Мы видели в § 1,

что равенство углов является необходимым условием как для максимума, так и для минимума суммы соответствующих сторон, так что, смотря по обстоятельствам, могут возникать различные типы световых треугольников. Так, рассматривая внутренность единственной замкнутой гладкой кривой C, мы можем сказать, что вписанный треугольник максимального периметра должен быть «световым треугольником», обладающим вышеописанными свойствами. Или предположим еще, что каждая из вершин треугольника ABC имеет право находиться на ей соответствующей одной из трех замкнутых гладких кривых (идея Марстона Морса). Тогда световые треугольники характеризуются тем свойством, что их периметры имеют стационарные значения. Но такого рода значение может быть минимальным по отношению ко всем трем вершинам A, B, C; или может быть минимальным по отношению к двум каким-либо вершинам и максимальным по отношению к третьей, или минимальным по отношению к одной какой-нибудь из трех и максимальным относительно двух других; или, наконец, максимальным относительно всех трех. Всего, таким образом, существует по меньшей мере 23 = 8 типов световых треугольников, так как по отношению к каждой из вершин, и притом независимо, возможен максимум или минимум.

*5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение. В динамике и в оптике представляется задачей первостепенной важности дать описание пути или «траектории» частицы или светового луча в пространстве на протяжении неограниченного промежутка времени. Предполагая, что то или иное приспособление физически принуждает

частицу или луч оставаться в некоторой ограниченной части пространства, особенно интересно установить, заполняет ли траектория в пределе эту часть пространства повсюду с приблизительно одинаковой «плотностью». Траектория, обладающая таким свойством, называется эргодической. Допущение существования эргодической траектории является исходной гипотезой для применения статистических методов в современных динамических и атомных теориях. Но известно лишь очень немного ситуаций, при которых может быть проведено строгое математическое доказательство «эргодической гипотезы».

Рис. 204–207. Четыре типа световых треугольников между тремя кругами

Простейшие примеры относятся к случаю, когда движение происходит на плоскости внутри замкнутой кривой C, причем предполагается, что «стенка» C представляет собой математически совершенное зеркало, отражающее частицу (в остальном — свободную) под тем же углом, под каким она падает на стенку. Так, например, прямоугольный ящик — идеализированный бильярдный стол с совершенным отражением, причем рассматриваемая частица играет роль бильярдного шара, — обеспечивает, вообще говоря, эргодическое движение: идеальный «бильярдный шар» на протяжении бесконечного промежутка времени побывает в окрестности любой наперед заданной точки, если только исключить некоторые особые начальные положения и направления движения. Мы не приводим здесь доказательства, впрочем, не представляющего трудностей принципиального порядка.

Особенно любопытно движение на эллиптическом столе с фокусами F1 и F2. Так как касательная к эллипсу образует одинаковые углы с отрезками, проведенными из фокусов в точку касания, то каждая траектория, проходящая через один из фокусов, дает отражение, проходящее через другой фокус, и т. д. Нетрудно усмотреть, что после n отражений, независимо от начального положения, траектория при n, неограниченно возрастающем, будет приближаться к большой оси F1F2. Если начальный луч не проходит через фокус, то возникают две возможности. Или начальный луч проходит между фокусами: тогда все отраженные траектории будут проходить между фокусами, причем будут касательными к некоторой гиперболе с теми же фокусами F1 и F2. Или же начальный луч не разделяет фокусов: тогда этим же свойством будут обладать все отраженные лучи, причем все они будут касаться некоторого эллипса с теми же фокусами F1 и F2. Таким образом, движение внутри эллипса ни при каких начальных условиях не оказывается эргодическим.

Упражнения. 1) Докажите, что если начальный луч проходит через какойнибудь фокус эллипса, то его n-е отражение при неограниченном возрастании n стремится к большой оси.

2) Докажите, что если начальный луч проходит между фокусами эллипса, то этим же свойством обладают все отраженные лучи, и все они касательны к некоторой гиперболе с фокусами F1 и F2; точно так же, если начальный луч не проходит между фокусами, то этим же свойством обладают все отраженные лучи, и все они касательны к некоторому эллипсу с фокусами F1 и F2. (Указание: установите, что до отражения и после отражения в точке R луч образует соответственно одинаковые углы с отрезками RF1 и RF2, потом докажите, что софокусные конические сечения характеризуются отмеченным обстоятельством.)

§5. Проблема Штейнера

1.Проблема и ее решение. Очень простая и вместе с тем поучительная проблема была изучена в начале прошлого столетия знаменитым берлинским геометром Якобом Ш т е й н е р о м. Требуется соединить три деревни A, B, C системой дорог таким образом, чтобы их общая протяженность была минимальной. В более точной математической формулировке: на плоскости даны три точки A, B, C; требуется найти такую четвертую точку P, чтобы сумма a + b + c (где a, b, c — расстояния P соответственно от A, B, C) обратилась в минимум. Решение проблемы таково: если в треугольнике ABC все углы меньше 120◦, то в качестве точки P следует взять ту, из которой все три стороны AB, BC, CA видны под углом в 120◦; если же один из углов треугольника ABC, например C, больше или равен 120◦, то точку P нужно совместить с вершиной C.

Обосновать этот результат не представляет труда, если воспользоваться решением уже рассмотренных экстремальных задач. Предположим,

сцентром B и радиусом b.

2.Анализ возникающих возможностей. Чтобы установить, которая именно из двух возможностей имеет место, нам придется обратиться к

построению точки P. Для нахождения точки P, из которой две стороны треугольника, например AC и BC, видны под углом в 120◦, достаточно через точки A, C провести такую окружность K1, у которой меньшая из дуг AC содержала бы 120◦, и через точки B, C провести окружность K2, обладающую таким же свойством; затем взять точку пересечения двух дуг, содержащих по 120◦, если только эти дуги действительно пересекаются. Из точки P, найденной таким образом, сторона AB непременно также будет видна под углом в 120◦, так как сумма трех углов с вершиной P равна 360◦.

Из рис. 210 видно, что если все три угла треугольника ABC меньше 120◦, то две упомянутые дуги непременно пересекутся внутри треугольника. С другой стороны, если один из углов треугольника ABC, например C, больше чем 120◦, то дуги, о которых идет речь, не пересекутся (рис. 211). В этом случае не существует точки P, из которой каждая из трех сторон ABC была бы видна под углом в 120◦: окружности K1 и K2 пересекаются в точке P′, из которой стороны AC и BC видны под углом

в60◦, и только одна сторона AB, противолежащая тупому углу, видна под углом в 120◦.

Если один из углов треугольника больше 120◦, то, как мы только что видели, нет такой точки P, из которой каждая из сторон видна под углом

в120◦; значит, искомая точка (в которой достигается минимум) должна совпадать с одной из вершин (так как это на основании § 1 — единственная иная возможность), а именно, с вершиной тупого угла.

Если же у треугольника все углы меньше 120◦, тогда, как мы видели, точку P, из которой все стороны видны под углом в 120◦, можно построить. Но, чтобы доказательство было закончено, нужно еще доказать, что для такой точки P сумма a + b + c меньше, чем для любой из вершин треугольника (так как еще покамест неизвестно, которая из двух возможностей в рассматриваемом случае имеет место). Итак, докажем, например, что a + b + c меньше, чем AB + AC (рис. 212). С этой целью продолжим отрезок BP и спроектируем точку A на полученную прямую; пусть найденная проекция есть D. Так как, очевидно, APD = 60◦, то

длина проекции PD равна 12 a. Так как BD есть проекция AB на пря-

мую BP, то, значит, BD < AB. Но BD = b + 21 a; поэтому b + 21 a < AB. Совершенно таким же образом, проектируя A на продолжение отрезка PC, мы убеждаемся, что c + 12 a < AC. Складывая два последних неравенства,

получаем: a + b + c < AB + AC. Итак, искомая точка не может находиться в вершине A. Так как, аналогично, она не может находиться также в вершинах B или C, то, следовательно, найденная точка P, из которой стороны видны под углом в 120◦, решает задачу.

такую фигуру, как мы рассматривали выше. Это замечание может быть использовано при решении проблемы Штейнера: достаточно, исходя из точек A, B, C, найти вершины равностороннего треугольника U, V, W.

Упражнения. 1) Выполните указанное построение, основываясь на том обстоятельстве, что сумма трех перпендикуляров, опущенных на стороны из произвольной точки P внутри равностороннего треугольника, постоянна, а именно, равна высоте треугольника.

2) Основываясь на аналогичном обстоятельстве в случае, когда P находится вне UVW, исследуйте дополнительную проблему.

В трехмерном пространстве можно рассмотреть проблему, подобную штейнеровской: по заданным четырем точкам A, B, C, D найти такую пятую точку P, чтобы сумма a + b + c + d обращалась в минимум.

* Упражнение. Исследуйте эту трехмерную проблему и дополнительную к ней методами § 1 или же пользуясь правильным тетраэдром.

5. Обобщение: проблема уличной сети. В проблеме Штейнера были заданы три точки A, B, C. Было бы естественно обобщить эту проблему на случай n заданных точек A1, A2, . . . , An следующим образом: требуется найти в плоскости такую точку P, чтобы сумма расстояний a1 + a2 + . . . + + an (где ai обозначает расстояние PAi) обращалась в минимум. (В случае четырех точек, расположенных так, как показано на рис. 215, в качестве P

математической литературе. Чтобы получить действительно достойное внимания обобщение проблемы Штейнера, приходится отказаться от поисков одной-единственной точки P. Вместо того поставим задачей построить «уличную сеть» или «сеть дорог между данными деревнями», обладающую минимальной общей длиной. Точнее, даны n точек A1, A2, . . . , An; требуется найти такую связную систему прямолинейных отрезков, чтобы: 1) любые две из данных точек могли быть связаны ломаной линией, стороны которой входили бы в состав системы, 2) общая длина всей системы была наименьшей. 1

1Выработка общих методов для решения прикладных задач типа описанной составила в последние годы предмет так называемого линейного программирования; см., например, [60]. — Прим. ред.

§ 6. Экстремумы и неравенства

Одной из характерных черт высших разделов математики является та выдающаяся роль, которую в них играют неравенства. В сущности, любая максимальная проблема всегда приводит к неравенству, выражающему тот факт, что рассматриваемая переменная величина не превышает некоторого максимального значения, доставляемого решением этой проблемы. Во многих случаях получаемые таким образом неравенства заслуживают внимания и независимо от экстремальной проблемы, к ним приводящей. В качестве примера мы рассмотрим сейчас важное неравенство, связывающее арифметическое и геометрическое средние.

1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных величин. Займемся прежде всего очень простой максимальной проблемой, с которой часто приходится встречаться и в самой математике, и в ее приложениях. В геометрической формулировке проблема эта заключается в следующем: среди всех прямоугольников с наперед заданным периметром найти тот, который имеет наибольшую площадь. Решением, как нетрудно догадаться, является квадрат. Доказать это можно следующим рассуждением. Пусть заданный периметр равен 2a. Тогда сумма x + y длин двух прилежащих сторон прямоугольника x и y равна постоянной величине a, а в максимум следует обратить произведение xy. «Среднее арифметическое» величин x и y есть не что иное, как выражение

причем знак равенства здесь возможен только при d = 0, т. е. при x = y. Так как x + y имеет постоянное значение a, то отсюда следует, что

выражение √xy, а значит, и интересующая нас площадь xy принимают

наибольшие возможное значение при x = y. Выражение g = √xy,