Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

Теперь можно уже отметить, что все наши формулы, касающиеся степеней x, могут быть объединены в одну общую:

При любом положительном или отрицательном рациональном r

функция

f(x) = xr

имеет производную

f′(x) = rxr−1.

Упражнения. 1) Произведите дифференцирования в упражнениях на стр. 448, пользуясь только что выведенными правилами.

3)Найдите вторые производные от некоторых из вышеприведенных функций

иот следующих функций:

4) Продифференцируйте функцию

p p

u = c1 (x − x1)2 + y21 + c2 (x − x2)2 + y22

и докажите минимальные свойства отраженного и преломленного луча, установленные в главе VII (стр. 358 и стр. 409). Предполагается, что отражение и преломление происходят в точке на оси x и что данные начальная и конечная точки заданы

координатами (x1, y1) и (x2, y2).

(Примечание. Производная от этой функции обращается в нуль только в одной точке, и поскольку в этой точке неизбежно имеется минимум, а не максимум, нет необходимости исследовать вторую производную.)

Дальнейшие задачи на максимум и минимум

5) Найдите экстремумы следующих функций, наметьте их графики, определите промежутки возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости:

1x2 , 1 x2x4 , cos2 x.

++

6)Изучите максимумы и минимумы функции x3 + 3ax + 1 в зависимости от значения параметра a.

7)Которая из точек гиперболы 2y2 − x2 = 2 — самая близкая к точке x = 0,

y = 3?

8)Из всех прямоугольников данной площади найдите прямоугольник с самой короткой диагональю.

9)Впишите прямоугольник наибольшей площади в эллипс

x2 + y2 = 1. a2 b2

10) Из всех круговых цилиндров данного объема найдите цилиндр с наименьшей поверхностью.

§ 4. Обозначения Лейбница и «бесконечно малые»

Ньютон и Лейбниц умели находить интегралы и производные как пределы. Но самые основания анализа были долго окружены таинственностью вследствие нежелания признать за понятием предела исключительного права быть источником новых методов. Ни Ньютон, ни Лейбниц не смогли занять ту отчетливую позицию, которая нам кажется простой и естественной теперь, когда понятие предела полностью выяснено. Их пример господствовал больше столетия, в течение которого сущность дела была затемнена бесплодными рассуждениями о «бесконечно малых величинах», о «дифференциалах», о «последнем отношении» и т. д. Неохота, с которой эти понятия были в конце концов отвергнуты, глубоко коренилась в философских концепциях того времени и в самой природе человеческого мышления. Казалось, что можно рассуждать так: конечно, интеграл и производную можно вычислить как пределы. Но все же, в конце концов, чем же являются эти объекты «в себе», независимо от того специфического способа их описания, каким является предельный переход? Ведь интуитивные понятия — такие как площадь или наклон кривой, — имеют как будто бы абсолютный смысл «в себе», и нет надобности в привлечении каких-либо вспомогательных вписанных многоугольников или секущих и их пределов. Без сомнения, желание сформулировать адекватные определения площади или наклона кривой как «вещей в себе» вполне оправдано с психологической точки зрения. Но при зрелых установках, которые так часто расчищали путь к подлинному прогрессу мысли, приходится отбросить это желание и в предельном переходе видеть их единственное приемлемое в научном смысле определение. В XVII в. не было интеллектуальных традиций, которые допускали бы такой радикализм.

Попытка Лейбница «объяснить» производную стоит в непосредственной и безупречной связи с введенным им обозначением для разностного отношения функции f(x)

Предел этого отношения, т. е. производную (которую мы, следуя обычаю, введенному впоследствии Лагранжем, обозначили через f′(x)), Лейбниц записывает с помощью символа

dydx ,

заменяя, таким образом, символ разности «дифференциальным символом» d. Никаких трудностей и никакой таинственности не возникает при условии ясного понимания того, что этот символ является всего лишь указанием на необходимость осуществить предельный переход при x → 0, что влечет за собой y → 0. До перехода к пределу в разностном

462 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

преобразовать это отношение так, чтобы переход к пределу совершался

безболезненно. Это и является в каждом отдельном случае узловым пунктом процесса дифференцирования. Если бы мы попробовали перейти к пределу без таких предварительных сокращений, то получили бы не

если мы, по примеру Лейбница или многих его последователей, стали бы говорить нечто подобное следующему: « x не стремится к нулю. Напротив, «последнее значение» x не есть нуль, а является «бесконечно малой величиной», «дифференциалом», обозначаемым символом dx; аналогично y имеет «последнее» бесконечно малое значение dy. Настоящее отношение этих бесконечно малых дифференциалов есть опять обык-

новенное число f′(x) = dydx ». Поэтому Лейбниц и называл производную

«дифференциальным отношением». Такие бесконечно малые величины рассматривались как некие новые числа, хотя и отличные от нуля, но меньшие любого положительного числа из системы действительных чисел.

Считалось, что такие понятия доступны лишь немногим избранным, обладающим настоящим математическим чутьем, и что анализ поэтому, по существу, очень труден, так как не всякий обладает этим чутьем или может его развить. Интеграл, аналогичным образом, рассматривался как сумма «бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых», а именно вида f(x)dx. Существовало представление, будто такая сумма есть интеграл или площадь, в то время как вычисление ее значения как предела последовательности конечных сумм обыкновенных слагаемых f(xj) xj рассматривалось как некий придаток. Теперь мы попросту отбрасываем желание «непосредственного» объяснения и определяем интеграл как предел последовательности конечных сумм. Этим путем все трудности устраняются, и все, что ценно в анализе, приобретает твердую основу.

Несмотря на все сказанное выше, в дальнейшем употребление обозначений Лейбница: dydx для производной и R f(x)dx для интеграла, не только

сохранилось, но и оказалось чрезвычайно полезным. Против такого употребления нечего возразить, если не упускается из виду, что символ d есть только символ перехода к пределу. Преимущество обозначений Лейбница состоит в том, что с пределами отношений или сумм можно в какой-то мере оперировать так, «как если бы» они были в самом деле отношениями или суммами. Подсказывающая сила этой символики всегда вводила в

соблазн приписывать этим символам некоторый совершенно нематематический смысл. Если не поддаваться этому соблазну, то обозначения Лейбница являются по меньшей мере превосходным сокращением более

громоздких явных выражений, содержащих предельный переход; по существу же они совершенно необходимы в более развитых частях теории.

Например, правило г) (стр. 457) дифференцирования функции x = g(y), обратной по отношению к функции y = f(x), заключалось в равенстве g′(y)f′(x) = 1. В обозначениях Лейбница оно выглядит следующим обра-

зом: dydx · dydx = 1, т. е. так, «как если бы» можно было сокращать на диф-

ференциалы подобно тому, как это делается с обыкновенными дробями. Аналогично, запись в дифференциальной форме выведенного на стр. 458 правила д) дифференцирования сложной функции z = k(x), где

z = g(y), y = f(x),

имеет вид

dxdz = dydz · dydx .

Кроме того, обозначения Лейбница обладают еще и тем преимуществом, что они указывают явно на сами величины x, y, z в большей степени, чем на их функциональные взаимоотношения. Последние выражают процедуру или совокупность операций, с помощью которых из одной величины x получается другая y; например, функция y = f(x) = x2 определяет величину y, равную квадрату величины x. Именно сама операция, в данном случае возведение в квадрат, есть предмет внимания математики. Физики же или инженеры в первую очередь интересуются самими величинами. Поэтому акцентирование самих величин в обозначениях Лейбница имеет особенную привлекательность для лиц, занимающихся прикладной математикой.

Присоединим еще одно замечание. В то время как «дифференциалы» в качестве бесконечно малых величин из математического обихода изгнаны теперь окончательно, и не без позора, само слово «дифференциал» прокралось обратно через заднюю дверь, правда, на этот раз для того, чтобы обозначить безукоризненно законное и полезное понятие. Теперь оно обозначает просто разность x, когда x мало по сравнению с другими рассматриваемыми величинами. Но здесь мы не можем вступить в обсуждение роли, которую это понятие играет в приближенных вычислениях. Не будем мы также рассматривать другие математические объекты, законно именуемые «дифференциалами» и в некоторых случаях показавшие себя весьма полезными в анализе и его приложениях к геометрии.

§5. Основная теорема анализа

1.Основная теорема. Понятие об интегрировании, и в некоторой мере о дифференцировании, было хорошо развито раньше работ Ньютона и Лейбница. Но было совершенно необходимо сделать одно очень

464 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

простое открытие, для того чтобы дать толчок к огромной эволюции вновь созданного математического анализа. Два как будто бы взаимно не соприкасающихся предельных процесса, употребляемые один для дифференцирования, другой для интегрирования функций, оказались тесно связанными между собой. В самом деле, они являются взаимно обратными операциями,

подобно таким операциям, как

жало на прямом пути естественного научного развития, и нисколько не удивительно, что различные лица пришли независимо и почти одновременно к ясному пониманию указанного выше обстоятельства.

Для того чтобы точно сформулировать основную теорему, рассмотрим интеграл от функции y = f(x) в пределах от постоянного числа a до числа x, которое будем считать переменным. Чтобы не смешивать верхнего предела интегрирования x с переменной, фигурирующей под знаком интеграла,

a

демонстрируя таким образом наше намерение изучать интеграл как функцию F(x) своего верхнего предела (рис. 274). Эта функция F(x) есть площадь под кривой y = f(u) от точки u = a до точки u = x. Иногда интеграл F(x) с переменным верхним пределом называют «неопределенным интегралом».

Основная теорема анализа читается следующим образом:

Производная неопределенного интеграла (1) по его верхнему пределу x равна значению функции f(u) в точке u = x:

F′(x) = f(x).

Другими словами, процесс интегрирования, ведущий от функции f(x) к функции F(x), «уничтожается» обратным ему процессом дифференцирования, применяемым к функции F(x).

На интуитивной основе доказательство этого предложения не представляет труда. Оно базируется на интерпретации интеграла F(x) как площади, и было бы затемнено, если бы мы попытались представлять функцию F(x) в виде графика и истолковывать производную F′(x) как соответствующий наклон. Оставляя в стороне установленную ранее геометрическую интерпретацию производной, мы сохраним геометрическое толкование интеграла F(x) как площади, а дифференцировать функцию F(x) станем аналити-

ческим методом. Разность

F(x1) − F(x)

есть просто площадь под кривой y = f(u) между пределами u = x1 и u = x (рис. 275), и нетрудно понять, что числовое значение этой площади заключено между числами (x1 − x)m и (x1 − x)M:

(x1 − x)m 6 F(x1) − F(x) 6 (x1 − x)M,

где M и m являются, соответственно, наибольшим и наименьшим значениями функции f(u) в промежутке от u = x до u = x1. Действительно, эти произведения дают площади двух прямоугольников, из которых один содержит рассматриваемую криволинейную область, а другой содержится в ней.

y

M

F (x) m

Рис. 275. К доказательству основной теоремы

Отсюда следует

m 6 F(x1) − F(x) 6 M. x1 − x

Предположим, что функция f(u) непрерывна, так что при стремлении x1 к x обе величины M и m стремятся к значению функции f(u) в точке u = x, т. е. к значению f(x). В таком случае можно считать доказанным, что

есть также первообразная функция от функции f(x). Значит, F(x) = G(x) + + c, где c — постоянная. Значение этой постоянной определится, если мы

примем во внимание, что F(a) = Ra f(u)du = 0. Отсюда следует: 0 = G(a) +

a

+ c, так что c = −G(a). Тогда определенный интеграл в пределах от a до x тождественно удовлетворяет равенству

Zx

F(x) = f(u)du = G(x) − G(a);

a

независимо от того, какая именно из первообразных функций была «пущена в ход». Другими словами: чтобы вычислить определенный инте-

грал Rb f(x)dx, достаточно найти такую функцию G(x), для кото-

a

рой G′(x) = f(x), и затем составить разность G(b) − G(a).

2. Первые применения. Интегрирование функций xr , cos x, sin x. Функция arctg x. Здесь невозможно дать исчерпывающее представление о роли основной теоремы, и мы ограничимся тем, что приведем несколько выразительных примеров. В задачах, встречающихся в механике и физике или в самой математике, очень часто приходится подсчитывать числовое значение некоторого определенного интеграла. Прямая попытка найти интеграл как предел может быть непреодолимо трудной. С другой же стороны, как мы это видели в § 3, любое дифференцирование выполняется сравнительно легко, и без труда возможно накопить очень большое количество формул дифференцирования. Каждая такая формула G′(x) = f(x), обратно, может быть рассматриваема как формула, определяющая первообразную функцию G(x) от функции f(x).

Формула (3) позволяет использовать известную первообразную функцию для вычисления интеграла от функции f(x) в некотором данном промежутке.

Если мы, например, хотим найти интегралы от степеней x2, x3, или в общем виде xn, то самое простое — это действовать, как указано в § 1. По формуле дифференцирования степени производная от xn равна nxn−1, так что производная от функции

Особенно интересный результат получается из формулы дифференцирования функции arctg x:

Но arctg 0 = 0 (нулевому значению тангенса соответствует нулевое значение угла). Итак, мы имеем

Символ + . . . следует понимать в том смысле, что последовательность конечных «частных сумм», получающихся, когда в правой части равенств