Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

Перемножим такого рода равенства, написанные для всех простых чисел p = 2, 3, 5, 7, . . . (не задаваясь вопросом о законности такой операции). В левой части мы получим «бесконечное произведение»

вэто же время в правой части мы получаем ряд 1 + 21s + 31s + . . . = z(s),

всилу того обстоятельства, что каждое целое число, большее чем 1, может быть единственным образом представлено как произведение степеней различных простых чисел. Итак, нам удалось выразить дзета-функцию в виде произведенияz

Если бы существовало только конечное число простых чисел, скажем, p1, p2, p3, . . . , pr, то произведение в правой части формулы (21) было бы обыкновенным конечным произведением и имело бы поэтому конечное значение даже при s = 1. zОднако мы видели, что дзета-ряд при s = 1

(1) = 1 + 21 + 31 + . . .

расходится, стремясь к бесконечности. Это рассуждение, которое легко превратить в строгое доказательство, показывает, что существует бесконечное множество простых чисел. Конечно, это доказательство гораздо запутаннее и искусственнее, чем данное Евклидом (см. стр. 46). Но оно столь же привлекательно, как трудный подъем на вершину горы, которая могла бы быть достигнута с другой стороны по комфортабельной дороге.

С помощью бесконечных произведений, подобных тому, которое дается формулой (21), функции иногда выражаются так же удобно, как и с помощью бесконечных рядов.

Другое бесконечное произведение, открытие которого представляет собой еще одно из достижений Эйлера, относится к тригонометрической функции sin x. Чтобы понять найденную Эйлером формулу, мы начнем со следующего замечания относительно многочленов. Если

f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn

есть многочлен степени n и имеет n различных нулей x1, . . . , xn, то, как известно из алгебры, функция f(x) может быть разложена на линейные

множители

f(x) = an(x − x1) . . . (x − xn)

§ 4 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ 511

(см. стр. 128). Вынося за скобку произведение x1x2 . . . xn, мы можем на-

где C — постоянная, равная a0, что легко установить, положив x = 0. Далее возникает вопрос: возможно ли аналогичное разложение уже не для полиномов, а для более сложных функций f(x)? (В общем случае ответ не может быть утвердительным, в чем легко убедиться на примере показательной функции, которая вовсе не имеет нулей, поскольку ex 6= 0 при любых значениях x.) Эйлер открыл, что для функции синус такое разложение в о з м о ж н о. Чтобы написать формулу в ее простейшем виде, мы рассмотрим не sin x, а sin px. Последняя функция имеет нулями точки x = 0, ±1, ±2, ±3, . . ., так как sin pn = 0 при всех целых n; иных же нулей она не имеет никаких. Формула Эйлера устанавливает соотношение

Стоящее справа бесконечное произведение сходится при всех значениях x

то после небольшихp преобразований получим произведение Уоллиса

2 = 12 · 23 · 34 · 45 · 56 · 67 · 78 · 89 . . . ,

упомянутое на стр. 328.

За доказательствами всех этих соотношений мы вынуждены направить читателя к руководствам по анализу (см. также стр. 539–540).

*§4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода

Применяя математические методы к изучению явлений природы, обычно удовлетворяются такими рассуждениями, в ходе которых цепь строгих логических доводов прерывается более или менее правдоподобными допущениями. И даже в чистой математике можно подчас встретить рассуждение, которое хотя и не обеспечивает строгого доказательства, но все же, несмотря на это, подсказывает правильное решение и дает направление, в котором можно искать это строгое доказательство.

Именно таков характер решения задачи о брахистохроне, данного Якобом Бернулли (см. стр. 411), а также очень многих других проблем раннего периода развития анализа.

Пользуясь процедурой, типичной для прикладной математики и в особенности для статистической механики, мы приведем сейчас одно рассуждение, которое сделает по меньшей мере правдоподобной справедливость знаменитого гауссова закона о распределении простых чисел. (Упомянутая процедура была подсказана одному из авторов специалистом по экспериментальной физике Густавом Ге р ц е м.) Эта теорема, рассмотренная

с эмпирической точки зрения в дополнениях к главе I, утверждает, что lnnn :

A(n) lnnn .

Под этим подразумевается то, что отношение A(n) : lnnn стремится к пре-

делу при стремлении n к бесконечности.

Допустим прежде всего, что существует математический закон распределения простых чисел, обладающий следующим свойством: при больших значениях n определенная выше функция A(n) приблизительно рав-

n

на интегралу R W(x)dx, где W(x) можно назвать функцией, измеряющей

2

«плотность» простых чисел. (В качестве нижнего предела интеграла мы выбрали число 2, так как при x < 2 имеем, очевидно, A(x) = 0.) Более точно, пусть x — растущая величина и x — другая растущая величина, но такая, что порядок возрастания x больше порядка возрастания x. (Например, можно принять, что x = √x.) Предположим далее, что распределение простых чисел настолько равномерно, что число простых чисел в промежутке от x до x + x приближенно равно выражению вида W(x) x, и даже более того, что функция W(x) изменяется так плавно, что инте-

n

грал R W(x)dx может быть заменен соответствующей интегральной «сту-

2

пенчатой» суммой, не изменяя своего асимптотического значения. После этих предварительных замечаний мы подготовлены для того, чтобы начать наше рассуждение.

Мы уже доказали ранее (стр. 501), что при больших целых числах выражение ln(n!) асимптотически равно произведению n ln n:

ln(n!) n ln n.

Мы дадим сейчас другую асимптотическую формулу для ln(n!), выражающуюся через простые числа, а затем сравним оба выражения. Сосчитаем, сколько раз произвольное простое число p, меньшее, чем n, входит множителем в целое число p! = 1 · 2 · 3 · . . . · n. Обозначим символом [a]p наи-

большее целое число k такое, что a делится на pk. Из того, что разложение любого целого числа на простые числа единственно, вытекает зависимость [ab]p = [a]p + [b]p при любых целых a и b. Отсюда следует

[n!]p = [1]p + [2]p + [3]p + . . . + [n]p.

В последовательности 1, 2, 3, . . . , n члены, делящиеся на pk, имеют вид pk, 2pk, 3pk, . . .; их число Nk при больших n приближенно равно pnk .

Из этих членов число Mk таких, которые делятся на pk, но не делятся на более высокие степени p, равно разности Nk − Nk+1. Следовательно, имеем

[n!]p = M1 + 2M2 + 3M3 + . . . =

=(N1 − N2) + 2(N2 − N3) + 3(N3 − N4) + . . . = N1 + N2 + N3 + . . . =

=np + pn2 + pn3 + . . . = p −n 1 .

(Само собой разумеется, что эти равенства только приближенные.)

Отсюда следует, что при больших n число n! приближенно выражается

n

произведением всех выражений вида p p−1 с ограничением p < n. Таким образом, мы получили формулу

Сравнивая полученное выражение с нашей прежней асимптотической формулой для ln(n!), мы находим:

p<x

(вместо n подставлено x).

Следующим — и решающим — шагом является нахождение асимптотического выражения для правой части соотношения (1). Если x очень велико, можно промежуток от 2 до x = n разделить на большое числоx r достаточно больших частных промежутков точками 2 = x1, x2, . . . , r, xr+1 = x с соответственными приращениями xj = xj+1 − xj. В каждом частном промежутке могут находиться простые числа, и каждое простое число j-го частного промежутка приближенно равно числу xj. В силу нашего предположения о функции W(x), в j-м частном промежутке содержится приблизительно W(xj) xj простых чисел; следовательно, сумма в правой части соотношения (1) приближенно равна выражению

Мы не можем претендовать на то, чтобы предыдущее рассуждение рассматривалось как математическое доказательство, а не как индукция. Однако более глубокий анализ приводит к следующему заключению. Нетрудно оправдать каждый, с такою смелостью сделанный нами шаг, в частности, доказать справедливость асимптотической формулы суммы и интеграла, стоящих соответственно в правых частях соотношений (1) и (2), и, наконец, обосновать шаг, ведущий от соотношения (2) к соотношению (3). Гораздо труднее доказать существование гладкой функции «плотности» W(x), которое мы постулировали в самом начале. Но раз это принято, то оценка самой функции W(x) является делом сравнительно простым; таким образом, в задаче о распределении простых чисел наиболее трудным представляется доказательство существования «плотности» W(x).

ПРИЛОЖЕНИЕ

Дополнительные замечания. Задачи и упражнения

Многие из следующих задач предназначены для более или менее подготовленного читателя. Они имеют в виду не столько развитие рутинной техники операций, сколько находчивости и инициативы.

Арифметика и алгебра

1.Откуда мы знаем, что, как говорится на стр. 87, никакая степень 10 не делится на 3? (См. стр. 59.)

2.Докажите, что принцип наименьшего целого числа вытекает как следствие из принципа математической индукции. (См. стр. 34.)

3.Применяя биномиальную теорему к разложению (1 + 1)n, докажите,

что Cn0 + Cn1 + Cn2 + . . . + Cnn = 2n.

*4. Задумайте какое-нибудь число z = abc . . ., составьте сумму его цифр a + b + c + . . ., вычтите ее из z, вычеркните одну цифру из остатка и обозначьте через w сумму оставшихся цифр. Нельзя ли найти правило для того, чтобы определить вычеркнутую цифру, зная только значение w? (Будет не вполне определенный случай, если w = 0.) Как и многое другое из того, что связано со сравнениями, этот пример пригоден в качестве «развлекательной задачи с угадыванием».

5. Арифметической прогрессией первого порядка называется такая последовательность чисел a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . ., что разность между следующим членом и предыдущим постоянна. Арифметическая прогрессия второго порядка есть такая числовая последовательность a1, a2, a3, . . ., что разности ai+1 − ai образуют арифметическую прогрессию первого порядка. Вообще арифметической прогрессией порядка k называют последовательность, обладающую тем свойством, что разности рядом стоящих членов образуют арифметическую прогрессию (k − 1)-го порядка. Проверьте, что квадраты натуральных чисел образуют арифметическую прогрессию 2-го порядка, и затем установите по математической индукции что k-е степени натуральных чисел образуют арифметическую прогрессию порядка k. Докажите, что всякая последовательность чисел an, где an = = c0 + c1n + c2n2 + . . . + cknk и все c — постоянные, есть арифметическая

прогрессия порядка k. *Докажите обратное утверждение для случая k = 2, k = 3, для любого k.

6.Докажите, что суммы n первых членов арифметической прогрессии порядка k образуют арифметическую прогрессию (k + 1)-го порядка.

7.Сколько делителей у числа 10 296? (См. стр. 49.)

8.Пользуясь алгебраической формулой

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac − bd)2 + (ad + bc)2,

докажите с помощью индукции, что любое целое число r = a1a2 . . . an может быть представлено как сумма двух квадратов, если каждый из множителей a обладает тем же свойством. Проверьте это на примерах

r = 160, r = 1600, r = 1300, r = 625, принимая во внимание, что

2 = 12 + 12, 5 = 12 + 22, 8 = 22 + 22 и т. д.

Если возможно, найдите два различных представления этих чисел как суммы двух квадратов.

9.Воспользуйтесь результатом предыдущего упражнения для того, чтобы по заданным пифагоровым тройкам чисел строить новые.

10.Составьте правила делимости (подобные приведенным на стр. 59) для систем счисления с основаниями 7, 11, 12.

11.Докажите: неравенство r > s между двумя положительными раци-

с помощью индукции, что zn + z1n может быть представленоf как полином степени n относительно w = z + 1z . (См. стр. 127.)

13. Предполагая, что z — какое угодно комплексное число, докажите

*14. Если положим ради краткости E(f) = cos f + i sin f, то получим [E(f)]m = E(mf). Воспользовавшись этой формулой, а также формулой для суммы геометрической прогрессии (стр. 38; эта формула сохраняется и для комплексных величин), докажите, что

15. Что получится из формулы упражнения 3 на стр. 42, если подставить q = E(f)?

Аналитическая геометрия

Внимательное выполнение следующих упражнений, сопровождаемое чертежами и числовыми примерами, даст возможность овладеть элементами аналитической геометрии. Определения и простейшие факты из тригонометрии предполагаются известными.

Во многих случаях целесообразно представлять себе прямые или отрезки направленными от одной точки к другой. Под направленной прямой PQ (или направленным отрезком PQ) мы будем понимать прямую (или отрезок), направленную от P к Q. Если разъяснения отсутствуют, то предполагается, что направленная прямая l имеет безразлично какое, но вполне определенное направление; только в случае направленной оси x неизменно принимается, что она направлена от начала O к любой ее точке

сположительной координатой x, и аналогично для оси y. О направленных прямых (или отрезках) мы будем говорить, что они параллельны, в том и только том случае, если они направлены одинаково. Направление направленного отрезка на направленной прямой может быть фиксировано знаком + или −, присоединяемым к расстоянию между конечными точками отрезка, смотря по тому, совпадает или не совпадает направление отрезка

снаправлением прямой. Целесообразно понятие «отрезок PQ» обобщить и на тот случай, когда точки P и Q совпадают; таким «отрезкам» приписывается длина нуль и не приписывается никакого направления.

16.Докажите: если P1(x1, y1) и P2(x2, y2) — какие-нибудь две точки, то координаты точки P0(x0, y0) — середины отрезка P1P2 — определяются

(Указание: примите во внимание свойство пропорциональности отрезков при пересечении сторон угла параллельными прямыми.)

Таким образом, все точки на прямой P1P2 имеют координаты вида x =

= l1x1 + l2x2, y = l1y1 + l2y2, причем l1 + l2 = 1. При l1 = 1 и l2 = 0 получаются соответственно точки P1 и P2. Отрицательным значениям l1

соответствуют точки по ту сторону P2, отрицательным значениям l2 — точки по ту сторону P1, т. е. точки, лежащие на прямой P1P2 вне отрезка P1P2.

17. Охарактеризуйте подобным же образом положение точки на прямой в зависимости от числовых значений k.