511. Теореми двоїстості, їх економічна інтерпретація.

Теорема (перша теорема двоїстості). Якщо одна з пари спряжених задач має оптимальний план, то й друга задача також має розв’язок, причому для оптимальних розв’язків значення цільових функцій обох задач збігаються, тобто

.

Якщо цільова функція однієї із задач необмежена, то спряжена задача також не має розв’язку.

Економічний зміст першої теореми двоїстості. Максимальний прибуток (F_max) підприємство отримує за умови виробницт­ва продукції згідно з оптимальним планом , однак таку саму суму грошей ( ) воно може мати, реалізувавши ресурси за оптимальними цінами . За умов використання інших планів на підставі основної нерівності теорії двоїстості можна стверджувати, що прибутки від реалізації продукції завжди менші, ніж витрати на її вироб- ництво.

Теорема (друга теорема двоїстості для симетричних задач). Для того, щоб плани X^* та Y^* відповідних спряжених задач були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови доповнюючої нежорсткості:

Економічний зміст другої теореми двоїстості стосовно оптимального плану Х^* прямої задачі. Якщо для виготовлення всієї продукції в обсязі, що визначається оптимальним планом Х^*, витрати одного і-го ресурсу строго менші, ніж його загальний обсяг , то відповідна оцінка такого ресурсу (компонента оптимального плану двоїстої задачі) буде дорівнювати нулю, тобто такий ресурс за даних умов для виробництва не є «цінним».

Теорема (третя теорема двоїстості). Компоненти оптимального плану двоїстої задачі дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції за відповідними аргументами , або

Використовуючи третю теорему двоїстості, можна легко визначити вплив на зміну значення цільової функції збільшення чи зменшення обсягів окремих ресурсів: числові значення двоїстих оцінок показують, на яку величину змінюється цільова функція за зміни обсягу відповідного даній оцінці ресурсу .

512. Застосування теорем двоїстості в розв’язуванні задач лінійного програмування.

Якщо одна із спряжених задач має розв язок то друга задача теж має розвязок і значення цієї функції співпадатимуть.

Х*=(x*1,x*2,x*3…x*n);Y*=(y*1,y*2,y*3…y*n); Fmax=F(x*) => Zmin=Z(y*) Fmax=Zmin; Max прибуток F підприємство має від реалізації оптимального плану х*, однак ту ж суму він отримає від продажу ресурсів за оптим. Цінами у*.

Теорема_2

При підстановці оптимального плану х* в і-те обмеження прямої задачі можна отримати 2 варіанти оцінки ресурсів, якщо маємо знак (=), то ресурс викор. Повністю, він є дефіцитним тобто цінним. його треба поповнювати, його двоїста оцінка є додатнім числом.

Ai1 * X*1 – Ai2 * X*2 +…+Ain * X*n <або= Bi1=> Y*i>або= 0

Теорема_3

Компоненти оптимального плану Y*i дають оцінку дефіцитних і недефіцитних ресурсів, а кожне додатнє значення двоїстої оцінки характеризує приріст цільової ф-ції F, зумовлений малими змінами на одиницю/ відповідного запасу дефіцитних ресурсів)

В симплекс таблиці значення двоїстих оцінок знаходь в останньому перевірочному рядку навпроти баз. змінних прямої задачі.

Y*1=s\3 –p. A

Y*2=0 – p. B – не дефіцит.

Y*3=1\3 – p. C

Y*4=0 –p. D – не дефіцит.