501. Загальна постановка задачі лінійного програмування. Приклади економічних задач лінійного програмування.

Подамо схематично довільну економічну систему у такому вигляді (рис. 1.1):

Рис. 1.1. Схема економічної системи

Параметри с_k (k = 1, 2, ..., l) є кількісними характеристиками системи.

Частина параметрів с_k для певної системи може бути сталими величинами.

Змінні величини бувають незалежними чи залежними, дискретними чи неперервними, детермінованими або випадковими.

Вхідні змінні економічної системи бувають двох видів: керовані x_j (j = 1, 2, ..., n), значення яких можна змінювати в деякому інтервалі; і некеровані змінні y_i (і = 1, 2, ..., m), значення яких не залежать від волі людей і визначаються зовнішнім середовищем.

Кожна економічна система має певну мету свого функціонування.

Нехай F — вибрана мета (ціль). За цих умов вдається, як правило, встановити залежність між величиною F, якою вимірюється ступінь досягнення мети, вхідними змінними та параметрами системи:

F = f (x₁, x₂, ..., x_n; y₁, y₂, ..., y_m; c₁, c₂, ..., c_l). (1.1)

Функцію F називають цільовою функцією, або функцією мети. Для економічної системи це є функція ефективності її функціонування та розвитку, оскільки значення F відображує ступінь досягнення певної мети.

У загальному вигляді задача математичного програмування формулюється так:

Знайти такі значення керованих змінних x_j, щоб цільова функція набувала екстремального (максимального чи мінімального значення).

Отже, потрібно відшукати значення

max(min)F* = f (x₁, x₂, ..., x_n; y₁, y₂, ..., y_m; c₁, c₂, ..., c_l).

Можливості вибору x_j завжди обмежені зовнішніми щодо системи умовами, параметрами виробничо-економічної системи тощо.

Приклади задач ЕММ:

Задача про «дієту» (або про суміш): деякий раціон складається з кількох видів продуктів. Відомі вартість одиниці кожного компонента, кількість необхідних організму поживних речовин та потреба в кожній речовині, вміст в одиниці кожного продукту кожної поживної речовини. Необхідно знайти оптимальний раціон — кількість кожного виду продукту, що враховує вимоги забезпечення організму необхідною кількістю поживних речовин.

Критерій оптимальності — мінімальна вартість раціону.

Задача комівояжера: розглядається кілька міст. Комівояжеру необхідно, починаючи з міста, в якому він перебуває, обійти, не буваючи ніде двічі, всі міста і повернутися в початкове. Відома матриця, елементи якої — вартості пересування (чи відстані) між всіма попарно пунктами подорожі. Знайти оптимальний маршрут.

Критерій оптимальності: мінімальна сумарна вартість (відстань) пересування по маршруту.

502. Модель задачі лінійного програмування в розгорнутому і скороченому вигляді, а також в матричній і векторній формах.

Розгорнутий вигляд: (2.1)

за умов:

(2.2)

(2.3)

Задачу лінійного програмування зручно записувати за допомогою знака суми «». Задачу (2.1)—(2.3) можна подати так (скорочений вигляд):

за умов:

Ще компактнішим є запис задачі лінійного програмування у векторно-матричному вигляді: max(min) Z = CX

за умов: АХ = А₀, Х ≥ 0,

де є матрицею коефіцієнтів при змінних;

— вектор змінних; — вектор вільних членів;

С = (с₁, с₂, …, с_п) — вектор коефіцієнтів при змінних у цільовій функції.

Часто задачу лінійного програмування зручно записувати у векторній формі: max(min)Z = CX за

умов: A₁x₁ + A₂x₂ + … + A_nx_n = A₀, X ≥0,

де

є векторами коефіцієнтів при змінних.