530. Квадратична функція та її властивості.

Квадратична функція n змінних називається квадратичною формою і може бути подана у вигляді: ,

де , , ,

причому матриця С завжди симетрична, тобто для всіх . Квадратична форма Z(X) називається від’ємно означеною, якщо для всіх Х, крім Х = 0, значення Z(X) < 0 (якщо Z(X) ≤ 0, то маємо від’ємно напівозначену квадратичну форму), у протилежному разі Z(X) є додатно означеною (якщо Z(X) ≥ 0, то маємо додатно напівозначену квадратичну форму).

Квадратична форма Z(X) називається неозначеною, якщо вона додатна для одних значень Х і від’ємна для інших.

Для того, щоб довільна квадратична форма була додатно (від’ємно) означеною, необхідно і достатньо, щоб усі компоненти вектора характеристичних коренів були додатними (від’ємними) значеннями.

Якщо хоча б один із характеристичних коренів дорівнює нулю, то квадратична форма є напівдодатною (напіввід’ємною). Якщо корені мають різні знаки, то квадратична форма є неозначеною.

531. Математична модель задачі опуклого програмування з сепарабельною цільовою функцією.

Серед задач опуклого програмування більш докладно вивчені задачі квадратичного програмування, у яких цільова функція є сумою лінійної і квадратичної форм: F(x)=a+Сума(j=1,n)cjxj+ Сума(j=1,n) Сума(t=1,n)djtxjxt, де a, c_j, d_jt, – параметри моделі, а обмеження– лінійні.

Задачі з багатьма екстремумами виникають у тих випадках, коли цільова функція неопукла (містить локальні екстремуми), або опукла, але розглядається на неопуклій множині допустимих розв'язків чи багатозв'язній області.

У задачах дискретного програмування керовані змінні приймають тільки дискретні, цілочисленні чи булеві значення. Нерідко стосовно до змінних другого і третього типу застосовують терміни відповідно "цілочисленне програмування" чи "булеве програмування".

Багатьма дослідниками розробляються методи розв'язання оптимізаційних задач, що відносяться до так званого евристичного програмування. Розроблення цих методів пов’язано з тим, що задача оптимізації не вирішується класичними методами математичного програмування.

Метод динамічного програмування призначений для рішення задач оптимізації, що містять цільову функцію спеціальної структури. Цільова функція спеціальної структури є сепарабельною функцією і може бути представлена у виді суми чи добутку n функцій однієї змінної, і має вигляд: F(x)=F(x1,x2,…,xn)=Сума(j=1,n)fj(xj) або F(x)=F(x1,x2,…,xn)= Добуток(j=1,n)fj(xj)

За першою формулою функція F(x) називається адитивною, а за 2-ю формулою – мультиплікативною.

Метод динамічного програмування може застосовуватись для аналізування багатокрокових процесів, і є засобом аналізування задач із багатьма екстремумами.

532. Постановка задачі квадратичного програмування та її математична модель.

Окремою частиною задач опуклого програмування є задачі квадратичного програмування. До них належать задачі, які мають лінійні обмеження, а функціонал являє собою суму лінійної і квадратичної функцій: Сума(j=1,n)aijxj=bi (i=1,m); xj>0 (j=1,n); max F = c₁x₁+c₂x₂+… +c_nx_n+c₁₁x²₂+c₂₂x²₂+…+c_nnx_n+…+2c_n-1nx_n-1x_n

Квадратична функція n змінних називається квадратичною формою і може бути подана у вигляді: Z(X)= Сума(i=1,n) Сума(j=1,n)cijxij=X^TCX, причому матриця С завжди симетрична/

Квадратична форма Z(X) називається від’ємно означеною, якщо для всіх Х, крім Х = 0, значення Z(X) < 0 (якщо Z(X) ≤ 0, то маємо від’ємно напівозначену квадратичну форму), у протилежному разі Z(X) є додатно означеною (якщо Z(X) ≥ 0, то маємо додатно напівозначену квадратичну форму).

Квадратична форма Z(X) називається неозначеною, якщо вона додатна для одних значень Х і від’ємна для інших.