547. Основні числові характеристики випадкового процесу та їх властивості.

Математичним сподіванням випадкового процесу називається невипадкова функція від аргументу t, яка при будь-якому значенні аргументу дорівнює математичному сподіванню для цього перерізу: .

Різницю називають флуктуаційною частиною випадкового процесу

Дисперсією випадкового процесу називається невипадкова функція від аргументу t, яка при будь-якому значенні t дорівнює дисперсії цього перерізу: .

Дисперсія визначає ступінь розкиду значень випадкового процесу близько математичного очікування.

Функція характеризує розсіювання реалізацій випадкового процесу відносно математичного сподівання

Тоді середньоквадратичне відхилення випадкового процесу обчислюється за формулою:

.

Функції є важливими числовими характеристиками, але вони не дають повної інформації про поводження випадкового процесу . Зустрічаються випадки, коли два випадкові процеси мають однакові але за своєю внут­рішньою структурою вони істотно різні.

Із теорії ймовірностей відомо, що тісноту лінійної залежності між випадковими величинами X і Y можна визначити кореляційним моментом -

Аналогічна характеристика використовується й для випадкових процесів:

.

Функція називається кореляційною. При дістаємо .

Кореляційна функція симетрична відносно аргументів : .

Нормованою кореляційною функцією випадкового процесу називають функцію

.

548. Кореляційна функція випадкового процесу та її властивості. Нормована кореляційна функція.

Для випадкового процесу Х₁(t) характерна тісна імовірнісна залежність між двома його сполученнями Х₁(t₁) і Х₁(t₂), у той час як для випадкового процесу Х₂(t) ця залежність між сполученнями Х₂(t₁) і Х₂(t₂) практично відсутній. Зазначена залежність між сполученнями характеризується кореляційною функцією.

Визначення: Кореляційною функцією випадкового процесу Х(t) називається невипадкова функція

K_x(t₁, t₂) = M[(X(t₁) – a_x(t₁))(X(t₂) – a_x(t₂))] (1)

двох змінних t₁ і t₂ , що при кожній парі змінних t₁ і t₂ дорівнює ковариації відповідних сполучень Х(t₁) і Х(t₂) випадкові процеси.

Очевидно, для випадкового процесу Х(t₁) кореляційна функція K_x1(t₁, t₂) убуває в міру збільшення різниці t₂ - t₁ значно повільніше, ніж K_x2(t₁, t₂) для випадкового процесу Х(t₂).

Кореляційна функція K_x(t₁, t₂) характеризує не тільки ступінь тісноти лінійної залежності між двома сполученнями, але й розкид цих сполучень щодо математичного очікування a_x(t). Тому розглядається також нормована кореляційна функція випадкового процесу.

Нормованою кореляційною функцією випадкового процесу Х(t) називається функція:

P_x(t₁, t₂) = K_x(t₁, t₂) / σ_x(t₁)σ_x(t₂) (2)

Наприклад:

Випадковий процес визначається формулою X(t) = X cosωt, де Х – випадкова величина. Знайти основні характеристики цього процесу, якщо М(Х) = а, D(X) = σ^2.

Рішення:

На підставі властивостей математичного очікування й дисперсії маємо:

a_x(t) = M(X cosωt) = cos?t * M(X) = a cos?t,

D_x(t) = D(X cosωt) = cos²ωt * D(X) = σ² cos² ωt.

Кореляційну функцію знайдемо по формулі (1.)

K_x(t₁, t₂) = M[(X cosωt₁ – a cosωt₁) (X cos ωt₂ – a cosωt₂)] = cosωt₁ cosωt₂ * M[(X – a)(X - a)] = cosωt₁ cosωt₂ * D(X) = σ² cosωt₁ cosωt₂.

Нормовану кореляційну функцію знайдемо по формулі (2.):

P_x(t₁, t₂) = σ² cosωt₁ cosωt₂ / (σ cosωt₁)( σ cosωt₂) ≡ 1.

Кореляційна функція - функція часу або просторових координат, яка задає кореляцію у системах із випадковими процесами.

Залежна від часу кореляція двох випадкових функцій X(t) та Y(t) визначається, як

,

Якщо кореляційна функція обчислюється для одного й того ж процесу, вона називається автокореляційною:

.

Аналогічно, можна обчислити кореляційну функцію для процесів, що відбуваються в різних точках простору у різні моменти часу: