- •501. Загальна постановка задачі лінійного програмування. Приклади економічних задач лінійного програмування.
- •502. Модель задачі лінійного програмування в розгорнутому і скороченому вигляді, а також в матричній і векторній формах.
- •503. Властивості розв'язків задачі лінійного програмування. Геометрична інтерпретація задач лінійного програмування.
- •504. Означення планів задачі лінійного програмування (допустимий, опорний, оптимальний).
- •505. Побудова опорного плану задачі лінійного програмування, перехід до іншого опорного плану.
- •Такому плану відповідає розклад
- •506. Теорема про оптимальність розв'язку задачі лінійного програмування симплекс-методом.
- •Якщо розглядається задача на відшукання мінімального значення цільової функції, то формулюється така теорема.
- •507. Знаходження оптимального розв'язку задачі лінійного програмування. Алгоритм симплексного методу.
- •508. Симплексний метод із штучним базисом. Ознака оптимальності плану із штучним базисом.
- •Взаємозв’язок між розв’язками початкової та розширеної задач лінійного програмування не є очевидним і визначається такою теоремою.
- •509. Двоїста задача. Правила побудови двоїстої задачі. Симетричні й несиметричні двоїсті задачі.
- •510. Економічний зміст двоїстої задачі й двоїстих оцінок.
- •511. Теореми двоїстості, їх економічна інтерпретація.
- •512. Застосування теорем двоїстості в розв’язуванні задач лінійного програмування.
- •513. Методи розв'язування двоїстої задачі лінійного програмування.
- •514. Аналіз розв'язків лінійних економіко-математичних моделей. Оцінка рентабельності продукції. Доцільність введення нової продукції.
- •515. Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів.
- •516. Аналіз коефіцієнтів цільової функції задач лінійного програмування.
- •517. Транспортна задача лінійного програмування. Економічна і математична постановка транспортної задачі.
- •518. Методи побудови опорних планів транспортної задачі. Випадок виродженості. Теорема про розв'язування транспортної задачі.
- •519. Двоїста задача до транспортної задачі. Метод потенціалів.
- •520. Розв'язування транспортної задачі методом потенціалів.
- •521. Відкриті транспортні задачі. Метод розв'язування.
- •522. Цілочислове програмування. Область застосування цілочислових задач в плануванні й управлінні виробництвом.
- •523. Геометрична інтерпретація задачі цілочислового програмування.
- •524. Метод Гоморі повністю цілочислових задач. Знаходження цілої й дробової частини числа. Алгоритм розв'язування задачі.
- •525. Постановка задачі нелінійного програмування, математична модель. Геометрична інтерпретація.
- •526. Графічний метод розв'язування задач нелінійного програмування.
- •527. Метод множників Лагранжа. Теорема Лагранжа. Алгоритм розв'язування задачі на безумовний екстремум.
- •528. Поняття про опуклі функції. Геометрична інтерпретація задачі опуклого програмування на площині.
- •529. Сідлова точка та необхідні і достатні умови її існування. Теорема Куна-Таккера.
- •530. Квадратична функція та її властивості.
- •531. Математична модель задачі опуклого програмування з сепарабельною цільовою функцією.
- •532. Постановка задачі квадратичного програмування та її математична модель.
- •533. Градієнтні методи розв'язання задач нелінійного програмування та їх класифікація.
- •534. Метод Франка-Вульфа. Алгоритм розв'язування задачі нелінійного програмування.
- •535. Сепарабельна функція та її властивості. Розв'язування задач нелінійного програмування методом кусково-лінійної апроксимації.
- •536. Математична постановка задачі динамічного програмування, її економічний зміст. Принцип оптимальності Беллмана.
- •537. Основні рекурентні співвідношення розв'язування задач динамічного програмування.
- •538. Методи розв'язування задач динамічного програмування. Основні кроки алгоритму розв'язування задачі динамічного програмування.
- •539. Математична постановка задачі стохастичного програмування і область їх застосування в управлінні виробничими системами.
- •540. 3Ведення розв'язання одноетапної статичної задачі стохастичного програмування до детермінованої задачі лінійного програмування.
- •541. Основні поняття теорії ігор. Гра двох гравців з нульовою сумою, правила гри, ціна гри, пара оптимальних стратегій для двох осіб.
- •542. Платіжна матриця. Основна теорема теорії ігор. Принцип мінімаксу.
- •543. Гра в чистих стратегіях. Поняття сідлової точки і її знаходження.
- •544. Гра2x2 взмішаних стратегіях. Алгоритм розв'язування задачі.
- •545. Зведення гри двох осіб до задачі лінійного програмування.
- •547. Основні числові характеристики випадкового процесу та їх властивості.
- •548. Кореляційна функція випадкового процесу та її властивості. Нормована кореляційна функція.
- •549. Поняття про оператор перетворення випадкового процесу. Лінійні однорідні перетворення. Нелінійні перетворення.
- •550. Визначення стаціонарного випадкового процесу, щільність ймовірностей для одного, k періодів.
- •551. Кореляційна функція, нормована кореляційна функція та їх властивості.
- •552. Ергодичні властивості стаціонарного випадкового процесу та його математична трактовка.
- •554. Стаціонарний випадковий процес із лінійною кореляційною функцією.
- •555. Стаціонарний випадковий процес із експоненціальною кореляційною функцією.
- •556. Пуассонівський процес та його математична модель.
- •557. Імовірні твірні функції.
- •558. Визначення ланцюга Маркова. Матриця однокрокового переходу. Однорідні ланцюги Маркова та їх класифікація.
- •559. Поглинаючі однорідні ланцюги Маркова та їх числові характеристики. Фундаментальна матриця.
- •560. Регулярні однорідні ланцюги Маркова та їх числові характеристики. Фундаментальна матриця для цих ланцюгів.
541. Основні поняття теорії ігор. Гра двох гравців з нульовою сумою, правила гри, ціна гри, пара оптимальних стратегій для двох осіб.
За умов ринкової економіки все частіше мають місце конфліктні ситуації, коли два або більше колективів мають протилежні цілі та інтереси, причому результат дії кожної із сторін залежить і від дії супротивника. Класичним прикладом конфліктної ситуації в економіці є відношення продавець — покупець. Теорія ігор — це математичний апарат, що розглядає конфліктні ситуації, а також ситуації спільних дій кількох учасників. Завдання теорії ігор полягає у розробленні рекомендацій щодо раціональної поведінки учасників гри.
Реальні конфліктні ситуації досить складні і обтяжені великою кількістю несуттєвих чинників, що ускладнює їх аналіз, тому на практиці будують спрощені моделі конфліктних ситуацій, які називають іграми. Характерними рисами математичної моделі ігрової ситуації є наявність, по-перше, кількох учасників, яких називають гравцями, по-друге, опису можливих дій кожної із сторін, що називаються стратегіями, по-третє, визначених результатів дій для кожного гравця, що подаються функціями виграшу. Задачею кожного гравця є знаходження оптимальної стратегії, яка за умови багатократного повторення гри забезпечує даному гравцю максимально можливий середній виграш.
Класифікація ігор проводиться відповідно до вибраного критерію. Ігри можуть розрізнятися залежно від кількості гравців, кількості стратегій, властивостей функцій виграшу, можливостей взаємодії між гравцями.
Якщо в грі беруть участь два гравці, то така гра називається парною (грою двох осіб). Часто у грі беруть участь багато сторін, тоді гра є множинною.
Залежно від кількості стратегій розрізняють скінченні та нескінченні ігри.
Якщо виграш одного гравця дорівнює програшу іншого, то маємо гру з нульовою сумою. Такі ігри характеризуються протилежними інтересами сторін, тобто ситуацією конфлікту. Інші ігри — з ненульовою сумою, виникають як за умов конфліктної поведінки гравців, так і за їх узгоджених дій.
542. Платіжна матриця. Основна теорема теорії ігор. Принцип мінімаксу.
Маємо два гравці А і В. Результати (плата) за всіма можливими варіантами гри задаються спеціальними функціями, які залежать від стратегій гравців, як правило, у вигляді платіжної матриці. Отже, мета гравця А — максимізувати, а гравця В — мінімізувати її. Маємо матрицю А:
А={a11 a12 … a1n}
{a21 a22 … a2n}
{am1 am2 … amn}
де рядки відповідають стратегіям Аі, а стовпці — стратегіям Bj.
Матриця А називається платіжною, а також матрицею гри. Елемент цієї матриці aij — це виграш гравця А, якщо він вибрав стратегію Ai, а гравець В — стратегію Bj.
Із багатьох критеріїв, які пропонуються теорією ігор для вибирання раціональних варіантів рішень, найпоширенішим є песимістичний критерій мінімаксу-максиміну. Суть цього критерію у наступному.
Нехай гравець А вибрав стратегію Ai, тоді у найгіршому разі він отримає виграш, що дорівнює min aij, тобто навіть тоді, якщо гравець В і знав би стратегію гравця А. Передбачаючи таку можливість, гравець А має вибрати таку стратегію, щоб максимізувати свій мінімальний виграш, тобто a=maxmin aij
Така стратегія гравця А позначається Аi0 і має назву максимінної, а величина гарантованого виграшу цього гравця називається нижньою ціною гри.
Гравець В, який програє суми у розмірі елементів платіжної матриці, навпаки має вибрати стратегію, що мінімізує його максимально можливий програш за всіма варіантами дій гравця А. Стратегія гравця В позначається через Вj0 і називається мінімаксною, а величина його програшу — верхньою ціною гри, тобто b=minmax aij
Оптимальний розв’язок цієї задачі досягається тоді, коли жодній стороні невигідно змінювати вибрану стратегію, оскільки її супротивник може у відповідь вибрати іншу стратегію, яка забезпечить йому кращий результат.
Теорема (основна теорема теорії ігор). Кожна скінченна гра має, принаймні, один розв’язок, можливий в області змішаних стратегій.