2.9. Соотношение между термическими сопротивлениями плоской и цилиндрической стенок.

Рассмотрим разницу между термическим сопротивлением плоской и цилиндрической стенки.

Преобразуем R_ц из условия d₂=d₁+2 ( - толщина стенки)

Разложим натуральный логарифм в ряд Тейлора по уравнению

и т.п. при -1  x  1, откуда

.

Если <<1, что соответствует металлическим трубам, то с достаточной точностью можно ограничится первым членом ряда и тогда

Удельный тепловой поток на 1 м² внутренней поверхности цилиндрической стенки будет равен

где - термическое сопротивление цилиндрической стенкой если пренебрегают кривизной.

Анализ полученных формул показывает, что расчет цилиндрической поверхности по формулам плоской стенки дает ошибку, определяемую 2-м членом ряда . Чем меньше и больше , тем эта ошибка меньше. Для стальных тонкостенных труб эта ошибка равна 12%, что соответственно увеличивает R и уменьшает q.

Эта ошибка может быть уменьшена если при определении площади поверхности теплообмена вместо d₁ принять d_ср=0,5(d₁+d₂).

2.10. Теплопроводность многослойной цилиндрической стенки при стационарном режиме и граничных условия 1-го рода.

Рассмотрим теплопроводность многослойной цилиндрической стенки, состоящей из n однородных и концентричных цилиндрических слоев с постоянным коэффициентом теплопроводности _i в каждом слое, температура и диаметр внутренней поверхности первого слоя равны t₁ и r₁, на наружной поверхности последнего (n-ого) слоя - t_n+1 и r_n+1. Удельный тепловой поток на 1 погонный метр длины цилиндрической стенки q_ц - величина постоянная для всех слоев и направлен в сторону понижения температуры, например, от внутреннего слоя к наружному.

Расчет ведется по методике, аналогичной принятой для многослойной плоской стенки.

Записывая величину q_ц для каждого произвольного i-того слоя и преобразуя это уравнение, имеем

,

откуда

t_i-t_i+1=q_цR_цi

Складывая почленно обе части полученного уравнения для всех слоев от i=1 до i=n, получим

,

откуда удельный тепловой поток для многослойной цилиндрической стенки будет равен

.

Обозначив термическое сопротивление многослойной цилиндрической стенки

,

получим

.

Для определения температуры в любом промежуточном слое t_i+1 используем условие постоянства удельного теплового потока для многослойной цилиндрической стенки при любом числе слоев, откуда

2.11. Теплопроводность при нестационарном режиме.

При исследовании нестационарной теплопроводности искомой величиной является распределение температуры в поле в зависимости от времени с момента начала процесса и координат точки, т.е. функция вида t=f(x,y,z,).

При этом различают периодические и переходные (апериодические) нестационарные процессы.

Наиболее распространяемыми являются переходные (апериодические) нестационарные процессы в которых происходит переход от одного стационарного режима к другому.

Рассмотрим дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного поля при q_V=0

Решение этого уравнения представим в виде

t=f(x,)=X(x)F()

Тогда дифференцируя это решение отдельно по х и  имеем

,

Подставляя в исходное дифференциальное уравнение и разделив все на XF имеем

,

где К² - постоянная.

Т.к. левая часть зависит только от (х), а правая только от () имеем два простых дифференциальных уравнения

Общее решение 1-го уравнения при постоянном К², что характерно для процессов стремящихся к равновесию

X=C₁ coskx+C₂ sin kx

Второе уравнение решается разделением переменных

интегрируя получим

Общее решение уравнения нестационарной теплопроводности будет

Постоянные, интегрирования С₁ ,С₂ и С₃ , находят из начальных и граничных условий для каждой конкретной задачи.