Secans
.docxМинистерство образования и науки Российской Федерации
Поволжский государственный технологический университет
Кафедра РТиМБС
Отчет по лабораторной работе №1
«Моделирование случайных величин с заданным законом распределения»
Вариант 7
Выполнил: ст. гр. РТ-41
Казаринов А. В,
Проверил: ст. преп.
Охотников С.А.
Йошкар-Ола
2013
Цель работы: изучение методов получения непрерывных и дискретных случайных чисел с заданными законами распределения на ЭВМ, и расчёт их статистических характеристик.
Задание:
-
По заданному преподавателем методу сгенерировать три случайных величины с распределениями Пуассона, биномиальным и нормальным с размерами выборок N=70000.
-
Найти математическое ожидание и СКО.
-
Построить гистограммы распределения.
-
Произвести оценку соответствия полученных СВ заданным законам распределения по критерию Пирсона.
-
Построить интегральные функции по гистограммам и оценить степень соответствия полученных СВ заданным законам распределения по критерию Колмогорова.
Ход работы
1. Так как в данной работе генерирование СВ с заданным распределением проводится на основе равномерно распределённых СВ, приведём программу соответствующего генератора:
2. Сгенерируем нормальную СВ прямым методом по формуле:
где U’ и U” две равномерно распределённые СВ.
Программа вычисления по этой формуле следующая. Генерируем две равномерные СВ:
И на их основе генерируем равномерно-распределённую СВ с параметрами m(x) = 2, СКО = 2 с помощью программы:
Полученная СВ имеет нулевое МО и единичную дисперсию. Чтобы привести её к заданным по варианту значениям, используем программу:
Для проверки гипотезы о равномерном распределении данной СВ применим два критерия: Пирсона и Колмогорова. Оба критерия предполагают сравнение теоретических и практических частот попадания СВ в заданные интервалы. Для их нахождения и сравнения используем программу:
В
результате получим таблицу (прил. 1), из
которой вычислим
и λ:
Согласно
методике проверки гипотезы по критерию
Пирсона, следует найти величину
для сравнения её с
.
Для этого зададимся уровнем значимости
и числом степеней свободы
,
где s-число интервалов, на которые
разбита выборка. Тогда по таблице
критических точек распределения найдём
,
то есть
, а это значит, что гипотеза о нормальном
распределении СВ на данном этапе проверки
отвергается.
Для проверки по критерию Колмогорова вычисленная величина λ сравнивается с λкр, зависящее только от уровня значимости. λ(0.05)=1.36, а это значит, что λ> λкр, то есть и на этом этапе проверки гипотезу принять нельзя.
По данным таблицы прил. 1 построим гистограммы и интегральные функции распределения сгенерированной СВ (рис. 1).
Рис. 1. Гистограммы и интегральные функции распределения сгенерированной СВ.
3. Сгенерируем биномиально распределённую СВ с параметрами р = 0.3, m = 6 при помощи программы:
Для проверки гипотезы о биномиальном распределении данной СВ применим два критерия: Пирсона и Колмогорова. Оба критерия предполагают сравнение теоретических и практических частот попадания СВ в заданные интервалы. Для их нахождения и сравнения используем программу:
Для нахождения теоретических частот используем программу на основе формулы Бернулли:
В
результате получим таблицу (прил. 2), из
которой вычислим
и λ:
Согласно
методике проверки гипотезы по критерию
Пирсона, следует найти величину
для сравнения её с
.
Для этого зададимся уровнем значимости
и числом степеней свободы
,
где s-число интервалов, на которые
разбита выборка. Тогда по таблице
критических точек распределения найдём
,
то есть
, а это значит, что гипотеза о биномиальном
распределении СВ на данном этапе проверки
отвергается.
Для проверки по критерию Колмогорова вычисленная величина λ сравнивается с λкр, зависящее только от уровня значимости. λ(0.05)=1.36, а это значит, что λ> λкр, то есть и на этом этапе проверки гипотезу принять нельзя.
По данным таблицы прил. 2 построим гистограммы и интегральные функции распределения сгенерированной СВ (рис. 2).
Рис. 2. Гистограммы и интегральные функции распределения сгенерированной СВ.
4. Сгенерируем СВ, распределённую по закону Пуассона с параметром λ = 10 при помощи программы:
Для проверки гипотезы о биномиальном распределении данной СВ применим два критерия: Пирсона и Колмогорова. Оба критерия предполагают сравнение теоретических и практических частот попадания СВ в заданные интервалы. Для их нахождения и сравнения используем программу:
В
результате получим таблицу (прил. 3), из
которой вычислим
и λ:
Согласно
методике проверки гипотезы по критерию
Пирсона, следует найти величину
для сравнения её с
.
Для этого зададимся уровнем значимости
и числом степеней свободы
,
где s-число интервалов, на которые
разбита выборка. Тогда по таблице
критических точек распределения найдём
,
то есть
, а это значит, что гипотеза о распределении
СВ по закону Пуассона на данном этапе
проверки отвергается.
Для проверки по критерию Колмогорова вычисленная величина λ сравнивается с λкр, зависящее только от уровня значимости. λ(0.05)=1.36, а это значит, что λ< λкр, то есть и на этом этапе проверки гипотеза принимается.(наконец-то)
По данным таблицы прил. 3 построим гистограммы и интегральные функции распределения сгенерированной СВ (рис. 3).
Рис. 3. Гистограммы и интегральные функции распределения сгенерированной СВ.
Вывод: в результате проделанной работы были сгенерированы три случайные величины распределённые по нормальному, биномиальному законам и закону Пуассона с заданными параметрами. Была проведена оценка соответствия законов распределения этих СВ теоретическим по критериям Колмогорова и Пирсона, однако гипотеза подтвердилась только у пуассоновской СВ, что зело прекрасно. Аминь.
Приложение 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-7,63138 |
-6,89349 |
-7,262436 |
1 |
1 |
1,43E-05 |
0,2785 |
0 |
3,98E-06 |
1,03E-05 |
1,869159 |
|
-6,89349 |
-6,15559 |
-6,524538 |
5 |
6 |
8,57E-05 |
1,389937 |
1,389937 |
1,99E-05 |
6,59E-05 |
9,376366 |
|
-6,15559 |
-5,41769 |
-5,786641 |
7 |
13 |
0,000186 |
6,070215 |
7,460152 |
0,000107 |
7,91E-05 |
0,142417 |
|
-5,41769 |
-4,67979 |
-5,048743 |
20 |
33 |
0,000471 |
23,19872 |
30,65887 |
0,000438 |
3,34E-05 |
0,44105 |
|
-4,67979 |
-3,9419 |
-4,310846 |
78 |
111 |
0,001586 |
77,5863 |
108,2452 |
0,001546 |
3,94E-05 |
0,002206 |
|
-3,9419 |
-3,204 |
-3,572948 |
264 |
375 |
0,005357 |
227,0789 |
335,3241 |
0,00479 |
0,000567 |
6,00306 |
|
-3,204 |
-2,4661 |
-2,835051 |
620 |
995 |
0,014214 |
581,6314 |
916,9554 |
0,013099 |
0,001115 |
2,531073 |
|
-2,4661 |
-1,7282 |
-2,097153 |
1382 |
2377 |
0,033957 |
1303,785 |
2220,74 |
0,031725 |
0,002232 |
4,692179 |
|
-1,7282 |
-0,99031 |
-1,359255 |
2658 |
5035 |
0,071929 |
2557,749 |
4778,49 |
0,068264 |
0,003664 |
3,929321 |
|
-0,99031 |
-0,25241 |
-0,621358 |
4627 |
9662 |
0,138029 |
4391,466 |
9169,956 |
0,130999 |
0,007029 |
12,63271 |
|
-0,25241 |
0,485488 |
0,1165396 |
6876 |
16538 |
0,236257 |
6598,807 |
15768,76 |
0,225268 |
0,010989 |
11,64393 |
|
0,485488 |
1,223386 |
0,8544372 |
8783 |
25321 |
0,361729 |
8678,189 |
24446,95 |
0,349242 |
0,012486 |
1,265858 |
|
1,223386 |
1,961283 |
1,5923347 |
10001 |
35322 |
0,5046 |
9988,563 |
34435,51 |
0,491936 |
0,012664 |
0,015486 |
|
1,961283 |
2,699181 |
2,3302323 |
10163 |
45485 |
0,649786 |
10062,09 |
44497,61 |
0,63568 |
0,014106 |
1,011909 |
|
2,699181 |
3,437079 |
3,0681298 |
8633 |
54118 |
0,773114 |
8871,26 |
53368,87 |
0,762412 |
0,010702 |
6,399069 |
|
3,437079 |
4,174976 |
3,8060274 |
6749 |
60867 |
0,869529 |
6845,302 |
60214,17 |
0,860202 |
0,009326 |
1,354821 |
|
4,174976 |
4,912874 |
4,5439249 |
4428 |
65295 |
0,932786 |
4622,832 |
64837 |
0,926243 |
0,006543 |
8,211317 |
|
4,912874 |
5,650771 |
5,2818225 |
2540 |
67835 |
0,969071 |
2732,3 |
67569,3 |
0,965276 |
0,003796 |
13,53406 |
|
5,650771 |
6,388669 |
6,01972 |
1303 |
69138 |
0,987686 |
1413,347 |
68982,65 |
0,985466 |
0,002219 |
8,615272 |
|
6,388669 |
7,126566 |
6,7576176 |
555 |
69693 |
0,995614 |
639,8285 |
69622,48 |
0,994607 |
0,001007 |
11,24656 |
|
7,126566 |
7,864464 |
7,4955151 |
207 |
69900 |
0,998571 |
253,4932 |
69875,97 |
0,998228 |
0,000343 |
8,527325 |
|
7,864464 |
8,602361 |
8,2334127 |
76 |
69976 |
0,999657 |
87,892 |
69963,86 |
0,999484 |
0,000173 |
1,609016 |
|
8,602361 |
9,340259 |
8,9713102 |
15 |
69991 |
0,999871 |
26,66883 |
69990,53 |
0,999865 |
6,68E-06 |
5,105648 |
|
9,340259 |
10,07816 |
9,7092078 |
7 |
69998 |
0,999971 |
7,081429 |
69997,61 |
0,999966 |
5,52E-06 |
0,000936 |
|
10,07816 |
10,81605 |
10,447105 |
2 |
70000 |
1 |
1,64547 |
69999,26 |
0,999989 |
1,06E-05 |
0,076387 |
Приложение 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,5 |
0,5 |
0 |
5823 |
5823 |
0,083186 |
8235,43 |
8235,43 |
0,117649 |
0,034463 |
706,6806 |
|
0,5 |
1,5 |
1 |
17309 |
23132 |
0,330457 |
21176,82 |
29412,25 |
0,420175 |
0,089718 |
706,4343 |
|
1,5 |
2,5 |
2 |
22185 |
45317 |
0,647386 |
22689,45 |
52101,7 |
0,74431 |
0,096924 |
11,21534 |
|
2,5 |
3,5 |
3 |
15861 |
61178 |
0,873971 |
12965,4 |
65067,1 |
0,92953 |
0,055559 |
646,6827 |
|
3,5 |
4,5 |
4 |
6822 |
68000 |
0,971429 |
4167,45 |
69234,55 |
0,989065 |
0,017636 |
1690,875 |
|
4,5 |
5,5 |
5 |
1712 |
69712 |
0,995886 |
714,42 |
69948,97 |
0,999271 |
0,003385 |
1392,97 |
|
5,5 |
6,5 |
6 |
272 |
69984 |
0,999771 |
51,03 |
70000 |
1 |
0,000229 |
956,8438 |
Приложение 3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,5 |
0,5 |
0 |
4 |
4 |
5,71E-05 |
3,177995 |
3,177995 |
4,54E-05 |
1,17E-05 |
0,212616 |
|
0,5 |
1,5 |
1 |
91 |
95 |
0,001357 |
31,77995 |
34,95795 |
0,000499 |
0,000858 |
110,353 |
|
1,5 |
2,5 |
2 |
247 |
342 |
0,004886 |
158,8998 |
193,8577 |
0,002769 |
0,002116 |
48,84623 |
|
2,5 |
3,5 |
3 |
606 |
948 |
0,013543 |
529,6658 |
723,5235 |
0,010336 |
0,003207 |
11,00109 |
|
3,5 |
4,5 |
4 |
1370 |
2318 |
0,033114 |
1324,165 |
2047,688 |
0,029253 |
0,003862 |
1,586572 |
|
4,5 |
5,5 |
5 |
2613 |
4931 |
0,070443 |
2648,329 |
4696,017 |
0,067086 |
0,003357 |
0,471299 |
|
5,5 |
6,5 |
6 |
4339 |
9270 |
0,132429 |
4413,882 |
9109,899 |
0,130141 |
0,002287 |
1,270384 |
|
6,5 |
7,5 |
7 |
6153 |
15423 |
0,220329 |
6305,546 |
15415,45 |
0,220221 |
0,000108 |
3,690437 |
|
7,5 |
8,5 |
8 |
7772 |
23195 |
0,331357 |
7881,932 |
23297,38 |
0,33282 |
0,001463 |
1,533266 |
|
8,5 |
9,5 |
9 |
8600 |
31795 |
0,454214 |
8757,703 |
32055,08 |
0,45793 |
0,003715 |
2,839795 |
|
9,5 |
10,5 |
10 |
8775 |
40570 |
0,579571 |
8757,703 |
40812,78 |
0,58304 |
0,003468 |
0,034165 |
|
10,5 |
11,5 |
11 |
7848 |
48418 |
0,691686 |
7961,548 |
48774,33 |
0,696776 |
0,00509 |
1,61942 |
|
11,5 |
12,5 |
12 |
6676 |
55094 |
0,787057 |
6634,623 |
55408,95 |
0,791556 |
0,004499 |
0,258047 |
|
12,5 |
13,5 |
13 |
5194 |
60288 |
0,861257 |
5103,556 |
60512,51 |
0,864464 |
0,003207 |
1,602819 |
|
13,5 |
14,5 |
14 |
3581 |
63869 |
0,912414 |
3645,397 |
64157,91 |
0,916542 |
0,004127 |
1,137603 |
|
14,5 |
15,5 |
15 |
2491 |
66360 |
0,948 |
2430,265 |
66588,17 |
0,95126 |
0,00326 |
1,517841 |
|
15,5 |
16,5 |
16 |
1622 |
67982 |
0,971171 |
1518,916 |
68107,09 |
0,972958 |
0,001787 |
6,996047 |
|
16,5 |
17,5 |
17 |
945 |
68927 |
0,984671 |
893,4797 |
69000,57 |
0,985722 |
0,001051 |
2,970787 |
|
17,5 |
18,5 |
18 |
496 |
69423 |
0,991757 |
496,3776 |
69496,94 |
0,992813 |
0,001056 |
0,000287 |
|
18,5 |
19,5 |
19 |
275 |
69698 |
0,995686 |
261,2514 |
69758,2 |
0,996546 |
0,00086 |
0,723535 |
|
19,5 |
20,5 |
20 |
167 |
69865 |
0,998071 |
130,6257 |
69888,82 |
0,998412 |
0,00034 |
10,12887 |
|
20,5 |
21,5 |
21 |
77 |
69942 |
0,999171 |
62,20271 |
69951,02 |
0,9993 |
0,000129 |
3,5201 |
|
21,5 |
22,5 |
22 |
37 |
69979 |
0,9997 |
28,27396 |
69979,3 |
0,999704 |
4,26E-06 |
2,693071 |
|
22,5 |
23,5 |
23 |
15 |
69994 |
0,999914 |
12,29303 |
69991,59 |
0,99988 |
3,44E-05 |
0,596087 |
|
23,5 |
24,5 |
24 |
6 |
70000 |
1 |
5,122094 |
69996,71 |
0,999953 |
4,69E-05 |
0,150469 |
