2.7. Теплопроводность многослойной плоской стенки при стационарном режиме и граничном условии 1-го рода.

На практике плоская стенка встречается наиболее часто в виде многослойной плоской стенки с параллельными плотно прилегающими слоями.

Рассмотрим многослойную плоскую стенку (Рис. 5), состоящую из n однородных параллельных слоев с толщиной _i и коэффициентом теплопроводности _i в каждом слое. Температура на наружной поверхности первого слоя во всех точках t₁, на поверхности последнего слоя t_n+1. Тепловой поток q постоянная величина для всех слоев и направлен в сторону понижения температуры.

Рис. 5.

Запишем систему уравнений теплопроводности для каждого слоя отдельно

откуда qR₁=t₁-t₂.

, откуда qR₂=t₂-t₃

………………………… …………

, откуда qR_i=t_i-t_i+1

………………………… …………

, откуда qR_n=t_n-t_n+1

Преобразуем полученные уравнения. Складывая почленно левые и правые части полученных равенств и сокращая одинаковые температуры, имеем

t₁-t_n+1=q(R₁+R₂+…+R_i+…+R_n), откуда

Обозначим - термическое сопротивление многослойной стенки, тогда

.

По аналогии с последовательным соединением электрических проводников, термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме термических сопротивлений всех слоев.

Для определения температуры в любом промежуточном слое t_i+1 используем условие постоянства теплового потока при любом числе слоев.

, откуда

.

2.8. Теплопроводность однослойной цилиндрической стенки при стационарном режиме и граничном условии 1-го рода.

Рассмотрим однородную однослойную цилиндрическую стенку, коэффициент теплопроводности материала которой , радиусы внутренней и внешней поверхности r₁ и r₂, а температуры в каждой точке этих поверхностей соответственно равны t₁ и t₂. Температурное поле в такой стенке двухмерное, изотермические поверхности - цилиндры, соосные с внутренней и наружной поверхностью. Удельный тепловой поток q направлен от t₁ до t₂ и является переменной величиной, т.к. площадь изотермической поверхности увеличивается с ростом радиуса r.

Рис. 6.

Полный тепловой поток через стенку есть величина постоянная для всех сечений при стационарном режиме

Q=qF=пост

Для анализа теплопроводности в цилиндрической стенке выделим внутри стенки на радиусе r от центральной оси две изотермические поверхности на расстоянии dr друг от друга при изменении температуры между ними на dt.

Уравнение Фурье для элементарного слоя цилиндрической стенки толщиной dr будет иметь вид

Т.к. величина q зависит от r, для решения полученного дифференциального уравнения необходимо установить вид этой зависимости.

Из условия Q=пост, имеем

,

где l - длина цилиндрической стенки, м;

F - площадь цилиндрической изотермической поверхности радиуса r, м².

Подставляя полученное выражение q в уравнение Фурье, получим дифференциальное уравнение

,

откуда, разделяя переменные, имеем

.

Интегрируя, получим уравнение температурного поля внутри цилиндрической стенки

.

Из полученного уравнения следует, что при =пост температура в цилиндрической стенке изменяется по логарифмическому закону.

Постоянная интегрирования (С) находится из граничных условий:

• при r=r₁ t=t₁;

• при r=r₂ t=t₂.

Подставляя первое граничное условие, имеем

,

откуда после подстановки значения С получим окончательное уравнение температурного поля в цилиндрической стенке

Подставляя второе граничное условие, получим уравнение

,

решая которое получим значение величины полного теплового потока Q в зависимости от параметров процесса теплопроводности в цилиндрической стенке

Вводим следующие условные обозначения:

• - постоянный удельный тепловой поток для цилиндрической стенки при теплопроводности, приходящейся на 1 погонный метр длины трубы, Вт/м;

• - термическое сопротивление цилиндрической стенки при теплопроводности, м К/Вт;

d₁ и d₂ - внутренний и наружный диаметры стенки, т.к. в технике удобнее использовать диаметр, чем радиус, м.

Подставляя принятые обозначения, получим уравнение удельного теплового потока на единицу длины цилиндрической стенки

.

Соответственно, уравнение температурного поля будет

.