12.Побудова плоских фігур.

Побудову багатокутника, рівного даному, можна виконати так, що його сторони будуть розташовуватися паралельно відповідним сторонам заданого багатокутника, чи побудований багатокутник буде повернений у площині щодо заданого. І в тому, і в іншому випадку рішення задачі зводиться до побудови третьої точки щодо двох заданих.

Наприклад, на площині задані точки А и В. Потрібно побудувати точку С, розташовану вище заданих точок на відстані n від точки А, і m від точки В. Безліч точок, що знаходяться на відстані n від точки А, розташовуються на колі з центром у точці А радіусом R = n. Безліч точок, що розташовуються на відстані m від точки В, знаходяться на колі з центром у точці В радіусом R1 = m. На перетині цих кіл одержують точки С і С1. З двох отриманих точок вибирають потрібну. Проводити коло повністю не обов'язково, досить провести дві короткі дуги.

Задано багатокутник ABCDE. Потрібно побудувати рівний йому багатокутник A₁B₁C₁D₁E₁. Побудову багатокутника A₁B₁C₁D₁E₁ можна почати з побудови будь-якої його сторони, наприклад сторони А1В1. Для цього паралельно стороні АВ проводять пряму і на ній циркулем відкладають відрізок А₁В₁, що дорівнює відрізку АВ. Потім циркулем вимірюють відстань від точки А до точки С и цим радіусом із точки А₁ проводять дугу в напрямку точки С₁, яку ми будуємо, потім від точки B вимірюють відстань до точки С і цим радіусом із точки B₁ проводять дугу до перетину з першою дугою в точці C₁. З'єднавши точку C₁ із точкою В₁ прямою лінією, одержують другу сторону багатокутника В₁С₁. Для побудови точки D₁ вимірюють відстань від точки D до двох інших вершин багатокутника (наприклад А і В, чи В і С, чи С і A). Дугу з точки В₁ проводять радіусом, рівним відрізку BD, а з точки С₁ — радіусом, рівним відрізку CD. Перетин цих дуг дає точку D₁. З'єднавши точку D₁ із точкою С₁, одержують сторону багатокутника С₁D₁. Аналогічно будують точку Е₁.

13.Пошук центра окружності чи дуги і визначення їхніх радіусів.

Якщо на кресленні є коло чи дуга, центри яких не відзначені чи не проставлені радіуси, а для роботи над кресленням їх необхідно знати, то їх визначають у такий спосіб.

Для визначення центра кола чи дуги проводять дві непаралельні хорди і ділять їх навпіл. Перпендикуляри, побудовані через середини хорд, проводять до перетину один з одним. Точка перетину буде центром заданого кола чи дуги. Відстань від знайденого центра (точки О) до будь-якої точки на колі буде радіусом даного кола чи дуги.

14.Розподіл окружності на рівні частини і побудова правильних багатокутників, що вписані.

Поділ кола на рівні частини і побудову правильних вписаних багатокутників можна виконати як циркулем, так і за допомогою косинців і рейсшини.

Поділ кола на чотири рівні частини і побудова правильного вписаного чотирикутника. Дві взаємно перпендикулярні центрові лінії ділять коло на чотири рівні частини. З'єднавши точки перетину цих ліній з колом прямими, одержують правильний вписаний чотирикутник.

Поділ кола на вісім рівних частин і побудова правильного вписаного восьмикутника. Дві взаємно перпендикулярні лінії, проведені під кутом 45° до центрових ліній за допомогою косинця з кутами 45, 45 і 90° і рейсшини, разом з центровими лініями ділять колона вісім рівних частин.

Поділ кола на вісім рівних частин можна виконати циркулем. Для цього з точок 1 і 3 (точки перетину центрових ліній з колом) довільним радіусом робляться зарубки до взаємного перетину, тим же радіусом роблять дві зарубки з точок 3 і 5. Через точки перетину зарубок і центр кола проводять прямі лінії до перетину з колом в точках 2, 4, 6, 8.

Якщо отримані вісім точок з'єднати послідовно прямими лініями, то вийде правильний вписаний восьмикутник.

Поділ кола на три рівні частини і побудову правильного вписаного трикутника виконують за допомогою циркуля чи косинця з кутами 30, 60 і 90° і рейсшини.

При поділі кола циркулем на три рівні частини з будь-якої точки кола, наприклад із точки А перетину центрових ліній з колом, проводять дугу радіусом R, рівним радіусу даного кола, одержують точки 1 і 2. Третя точка поділу (точка 3) буде знаходитися на протилежному кінці діаметра, що проходить через точку А. Послідовно з'єднавши точки 1, 2 і 3, одержують правильний вписаний трикутник. При побудові правильного вписаного трикутника, якщо задана одна з його вершин, наприклад точка 1, знаходять точку А. Для цього через задану точку 1 проводять діаметр. Точка А буде знаходитися на протилежному кінці цього діаметра. Потім проводять дугу радіусом R, рівним радіусу даного кола, одержують точки 2 і 3.

При поділі кола на три рівні частини за допомогою косинця і рейсшини через точку 1 під кутом 60° проводять дві прямі лінії до перетину з колом в точках 2 і 3, точки 2 і 3 з'єднують і одержують правильний вписаний трикутник.

Поділ кола на шість рівних частин і побудову правильного вписаного шестикутника виконують за допомогою косинця з кутами 30, 60 і 90° і рейсшини або циркуля.

При поділі кола на шість рівних частин циркулем із двох кінців одного діаметра радіусом, рівним радіусу даного кола, проводять дуги до перетину з колом в точках 2, 6 і 3, 5. Послідовно з'єднавши отримані точки, одержують правильний вписаний шестикутник.

Поділ кола на дванадцять рівних частин і побудова правильного вписаного дванадцятикутника виконуються за допомогою косинця з кутами 30, 60 і 90° і рейсшини або циркуля.

При поділі кола циркулем з чотирьох кінців двох взаємно перпендикулярних діаметрів кола проводять радіусом, рівним радіусу даного кола, дуги до перетину з колом. З'єднавши отримані точки, одержують дванадцятикутник.

Половину будь-якого діаметра (радіус) ділять навпіл, одержують точку А. З точки А, як з центра, проводять дугу радіусом, рівним відстані від точки А до точки 1, до перетину з другою половиною цього діаметра, у точці В. Відрізок 1В дорівнює хорді, що стягує дугу, довжина якої дорівнює 1/5 довжини кола. Роблячи зарубки на колі радіусом R, рівним відрізку 1В, коло ділять на п'ять рівних частин. Початкову точку 1 вибирають у залежності від розташування п'ятикутника. З точки 1 будують точки 2 і 5, потім із точки 2 будують точку 3, а з точки 5 будують точку 4. Відстань від точки 3 до точки 4 перевіряють циркулем; якщо відстань між точками 3 і 4 дорівнює відрізку 1В, то побудови були виконані точно. Не можна виконувати зарубки послідовно, в одну сторону, тому що відбувається нагромадження помилок і остання сторона п'ятикутника виходить перекошеною. Послідовно з'єднавши знайдені точки, одержують п'ятикутник.

Поділ кола на десять рівних частин виконують аналогічно поділу кола на п'ять рівних частин, але спочатку коло ділять на п'ять частин, починаючи побудову з точки 1, а потім із точки 6, що знаходиться на протилежному кінці діаметра. З'єднавши послідовно всі точки, одержують правильний вписаний десятикутник.

Поділ кола на сім і чотирнадцять рівних частин і побудова правильного вписаного семикутника і чотирнадцятикутника

З будь-якої точки кола, наприклад точки А, радіусом заданого кола проводять дугу до перетину з колом в точках В і D. З'єднаємо точки В і D прямою. Половина отриманого відрізка (у даному випадку відрізок ВС) буде дорівнювати хорді, що стягує дугу, що складає 1/7 довжини кола. Радіусом, рівним відрізку ВС, роблять зарубки на колі в послідовності. З'єднавши послідовно всі точки, одержують правильний вписаний семикутник.

Поділ кола на чотирнадцять рівних частин виконується поділом кола на сім рівних частин два рази від двох точок.

Спочатку коло ділиться на сім рівних частин від точки 1, потім та ж побудова виконується від точки 8. Побудовані точки з'єднують послідовно прямими лініями й одержують правильний вписаний чотирнадцятикутник.