43. Нормальная форма бескоалиционной игры

Имеется N игроков G₁, G₂,…, G_N. У кажд. G_i игрока имеется конечный набор чистых стратегий s_i={s₁ⁱ,s₂ⁱ,…,s_niⁱ }. Игроки одновременно и независ друг от друга выбир свои стратегии s_k€S в результате чего образуется ситуация (профиль стратегии) s^→=(S₁,S₂,…,S_N ). После чего кажд.игрок G_k получ выигрыш в размере Н_к(s^→), Н_к(s^→)-заданная ф-я выигрышей игрока G_к в ситуации s^→. Конец. Задача игрока заключ в стратегии, макс-ции их выигрышей.

Игру в норм форме обозн: Г<{G},{S},{H}>, где {G}-мн-во игроков;{S}-мн-во стратегий игроков;{H}-мн-во ф-й выигрышей.

В случае парной игры в норм форме ¥ ситуация опр-ет пару чисел- выигрышей игроков. Сов-ть таких пар чисел наз.платёжной биматрицей, а соотв-щая игра биматричной игрой. Биматричные игры явл-ся самыми простыми играми.

44. Позиционная форма бескоалиционной игры

Позиционная форма примен, когда исход конфликта сущ-но зависит от очередности ходов. Игра в позиционной форме предст-ся деревом игры (графом без циклов с одной корневой вершиной), вершина кот.соотв-ет сост-ю игры (позициям), а дуги кот.выходят из вершин отображают вар-ты действия игроков в этих позициях. При этом обяз-но фиксируется сов-ть конечных вершин дерева игры, в кот.предусм-ся ее окончание. У кажд.конечной вершины записывается вектор выигрышей игроков, т.е.сов-ть их выигрышей в данной конечной позиции конфликта. У кажд.вершины ставится метка, показывающая какой игрок «ходит» в данной позиции.

З: ¥ позиция игрока м.б.предст в норм форме. Для этого достаточно рассм.все возможные пути её корневой вершины дерева игры до конечных вершин и подробно для каждого из таких путей выписать условия для их реализации. Эти усл-я и опред-ют чистые стратегии игроков, опред-щие траекторию движения по дереву игры.

45. Понятие решения игры. Осн. Принципы, опред. Реш. Игры.

Согласно Неймону и Моргенштерну оптим. стратегии игроков должны опр-ся на основе принципов:1) принцип рац-ти–предполож-е, что все игроки действуют рац-но. 2) принцип осторожности –реш-е. должно выбир-ся в предположении, что все соперники будут действовать сильнейшим для себя образом. 3) принцип уравновеш-ти –игрокам следует стремиться к равновесным ситуациям, отклонение от кот. не выгодно никому из игроков.

Решением игры может служить любая равновесная ситуация. Она наз. оптимальной, а стратегии игроков, формирующ. её -оптимальными стратегиями.

В зав-ти от нюансов конфликта и присутствия дополнит. инф-ии в кач-ве критериев оптимальности стратегий выбир-ся различ. критерии.

46. Доминирующие и доминируемые стратегии. Равновесие в доминирующих стратегиях.

Следуя принципу рац-ти, 1ым шагом при попытке реш. игры д.б выявление всех домин-щих и домин-мых стратегий. Пусть s^→ = (s₁, …, s_i-1, s_i, s_i+1, …, s_N) – произвольная ситуация в игре, где s_i, i=1,N – чистая стратегия i-ого игрока G_i Обозн ч/з (s^→//s_i^′) ситуацию, кот. Отлич-ся от s^→ тем, что в ней только игрок G_i и только он один заменяет свою стратегию s_i на стратегию s_i^′. А все др. игроки остаются при тех же стратегиях, что и в ситуации s^→, т.е. отклоняется один игрок G_i. Очевидно: (s^→//s_i) = s^→

Стратегия s_i^′ игрока G_i наз. домин-мой стратегией этого игрока , если у него сущ-ет др. стратегия s_i^′′ такая, что ¥ s^→ H_i (s^→//s_i^′) < H_i (s^→//s_i^′′),(1), где H_i(s^→) – ф-ция выигрыша игрока G_i в ситуации s^→.

Стратегия s_i^′′доминирует стратегию s_i^′ (пишут: s_i^′′ >s_i^′)

Стратегия s_i^* игрока G_i наз. домин-щей стратегией этого игрока, если ¥ s^→ справедливо:H_i (s^→) < H_i(s^→//s_i^*),(2), кроме s^→ = (s^→//s_i^*).

Никакой рацион. игрок не будет исп-ть домин-мые стратегии, а будет стремиться к домин-щим. Если у кажд. игрока найдётся домин-щая стратегия, то тогда ситуация, опред-мая такими стратегиями, наз. ситуацией равновесия в домин-щих стратегиях. Это очень хорошая устойчивая ситуация, несомненное реш. игры. Нед-ком критерия оптим-сти в домин-щих стратегиях явл. то, что на практике такие равновесия встречаются очень редко.