1 Матрицы. Виды матриц

Числовой матрицей А_m*n наз прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов

Числа, определяющие матрицу наз её элементами

а_ij матрицы находится в i-ой строке и j-ом столбце, номера которых указывают индексы элементов: i-индекс строки, j-индекс столбца

Говорят, что матрица A_m*n имеет размер m*n Если размер матрицы ясен из контекста, то индекс её размера опускается и т.о. матрицы обозначаются прописными буквами A,B,C…

Специальные матрицы

Матрица, имеющая 1 строку и 1 столбец наз матрицей-скаляром

Матрица, имеющая только 1 строку наз вектор-строкой

Матрица, имеющая только 1 столбец наз вектор-столбцом

Матрица, у которой число строк и столбцов совпадает называют квадратной. Элементы квадратной матрицы, лежащие на линии, проведённой из левого верхнего угла в правый нижний угол называют элементами главной диагонали. Элементы квадратной матрицы лежащие на линии проведённой из верхнего правого угла в левый нижний угол наз элементами побочной диагонали. У элементов главной диагонали, индексы столбца и строки совпадают между собой:

a_ii-элементы главной диагонали i=1 ,m

a_i,m-i+1 – элементы побочной диагонали i=1,m

Произвольная матрица, все элементы которой равны 0 наз нулевой матрицей и обозначается O

Квадратная матрица, все элементы которой равны 0, за исключением элементов главной диагонали, которые равны1 наз единичной матрицей и обозначается E.

Операции над матрицами

Матрицы можно сравнивать.

Говорят, что матрица A больше (меньше) матрицы B (пишут A>B (A<B)), если матрицы имеют одинаковый размер и при этом a_ij>b_ij i=1,m, j=1,n (a_ij<b_ij i=1,m, j=1,n)

Операция сложения определена для любых двух матриц, имеющих одинаковый размер. Суммой С матриц А,В наз матрица А+В элементы которой определены соотношением: c_ij=a_ij+b_ij i=1,m j=1,n

Свойства:

А+В=В+А – коммутативность

(А+В)+С=А+(В+С) – ассоциативность

А+0=0+А=А

Умножение матриц на число любая матрица А может быть умножена на произвольное число α, как слева так и справа в результате получается матрица С=αА=Аα, элементы которой определяются соотношением c_ij=αa_ij i=1,m j=1,n

Свойства:

α(А+В)=αА+αВ

α(βА)=(αβ)А

Операция вычитания определена для матриц одинакового размера. Разностью С=А-В матриц А и В наз матрица С=А+(-1)В

Матрицу А можно умножить слева на матрицу В тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, в результате получаем матрицу С=А*В, которая имеет столько столбцов сколько второй сомножитель матрицы В. Элементы произведения матриц определяются по формуле: с_ij=∑_k=1ⁿa_ik*b_kj, то есть элемент c_ij является результатом взаимодействия i-ой строки матрицы А и j-ого столбца матрицы В.

Свойства операции умножения матриц:

(А*В)С=А(ВС)

(А+В)С=АС+ВС

А*Е=Е*А=А

А*0=0*А=0

А*В≠В*А

Матрица для которой А*В=В*А наз коммутативным или перестановочными

Операция возведения в степень определена для квадратных матриц. k-ой степенью А^k матрицы А, где k-показатель степени k-целое число (неотрицательное) наз результат умножения матрицы А саму на себя k раз.

E, если k=0

A^k=

A^k-1*A, k>0

Свойства:

А^k*A^l=A^k+l

(А^k)^l=A^kl

Операция транспонирования определена для любых матриц. Транспонированной матрицей А^т наз матрица строками которой являются столбцы матрицы А, а столбцами - строки этой матрицы

Свойства:

(А+В)^т = А^т+В^т

(А*В)^т = В^т*А^т

(А^т)^т = А

В специальный класс операций над матрицами выделяются следующие операции, называемые элементарными преобразованиями матриц:

1) умножение строки (столбца) матрицы на число ≠ 0

2)прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой её строки (столбца), умноженных на произвольное число

3) перестановка строк (столбцов) матриц

Замечание 1.1

Любое элементарное преобразование матрицы может быть осуществлено последовательностью операций произведения этой матрицы на матрицы специального вида.