17 Выпуклые множества и системы линейных неравенств. Теорема о пересечении выпуклых множеств. Теорема о разделяющей гиперплоскости. Теорема о выпуклости полупространства.

Множество точек n-мерного пространства содержащие все точки отрезка соединяющего любые 2 точки этого множества наз выпуклым множеством

Теорема о пересечении выпуклых множеств

Пересечение любого числа выпуклых множеств явл выпуклым множеством. Множество точек x удовлетворяющих условию c^Tx=, (6)где R¹, cRⁿ – заданный вектор

наз гиперплоскостью в n-мерном пространстве

Уравнение (6) наз уравнением гиперплоскости

18Теорема о разделяющей гиперплоскости

Любая гиперплоскость c^Tx= разделяет всё пространство Rⁿ на 2 непересекающихся множества p₁ и p₂, наз полупространствами: p₁={xRⁿ:c^Tx}, p₂={xRⁿ:c^Tx>}

Теорема о выпуклости полупространства

Полупространство P={ xRⁿ:c^Tx} явл выпуклым множеством.

Пересечение конечного числа полупространств явл выпуклым множеством и наз выпуклым многогранником

21 Понятие ограниченного множества. Понятие эпсилон-окрестности

Рассмотрим точку xRⁿ назовём -окрестностью O_(x) этой точки множество точек n-мерного пространства отстоящих от x не далее чем на .

Точка zДRⁿ наз предельной точкой множества Д, если существует последовательность, принадлежащих x_nД точек, сходящихся в z. Т.е. для _x_n-z<lim_nx_n=z (10)

Множество Д наз замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки (отрезок)

Множество Д наз компактным множеством, если оно ограничено и замкнуто

Точка xД наз внутренней точкой множества Д если O_(x): O_(x)Д В противном случае точка наз граничной точкой множества Д

Точка z Д нащ точкой условного локального max(min) функции f(x) в обл Д если O_ (z)Д xO_(z)Д f(z)f(x) (f(z)f(x)) (11)

Для max для min

Точка zД наз точкой условного глобального max(min) в обл Д, если соотношение (11) выполняется для _(z)

Говорят, что функция f(x) имеет в точке zД условный локальный (глобальный) экстремум на множестве Д, если точка z явл точкой локального (глобального) max или min.

Говорят, что функция f(x) имеет в точке zД локальный (глобальный) ,безусловный экстремум если точка z является точкой локального (глобального) max или min во всей области определения функции f(x).

20Общая постановка змп

ЗМП или оптимизационной задачей наз задача вида: f(x)max(min) (1) xДRⁿ, где f(x) – целевая функция, ДRⁿ – область допустимых значений

Решить ЗМП означает:

а) любо найти все такие xД:f(x^*)f(x)(f(x^*)f(x)) xД (2)

б) установить неразрешимость поставленной задачи

xД наз допустимым решением или планом ЗМП (1)

x^* в п. а) формулы (2) наз оптимальным решением или оптимальным планом задачи. В качестве целевой функции f(x) могут выступать функции, выражающие прибыль, объём производства, затраты, потери и т.д. В качестве области допустимых решений Д может служить множество решений системы уравнений ил неравенств.

Разновидности ЗМП

В случае когда целевая функция f(x) явл линейной функцией т.е. представима в виде: f(x)=c^Tx=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n, а обл Д есть выпуклый многогранник, то ЗМП (1) наз задачей линейного программирования. В противном случае она наз задачей нелинейного программирования. В зависимости от способа задания обл ограничений Д выделяют следующие виды ЗМП

1.ЗМП без ограничений (классическая оптимизационная задача)

f(x)max(min) (3) xRⁿ

2. ЗМП в канонической форме (ЗМП с ограничениями-равенствами)

f(x)max(min) (4)

g₁(x)=b₁

g₂(x)=b₂ (5)

_{……………}

g_m(x)=b_m

В этом случае обл ограничений Д есть множество решений системы уравнений (5)

3. ЗМП в симметричной форме (ЗМП с ограничениями-неравенствами)

f(x)max(min) (6)

g₁(x)b₁

g₂(x)b₂ (7)

_{……………}

g_m(x)b_m

для этой задачи Д-множество решений системы неравенств (7)

4 ЗМП в общей форме (ЗМП со смешанными ограничениями)

f(x)max(min) (8)

g_i(x)=b_i i=1,m

g_i(x)b_i i=m+1,k (9) обл Д – явл множество решений (9)