8.Поиск ранга матрицы методом окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований Метод окаймляющих миноров

Пусть некоторый минор матрицы k-ого порядка М_k0, тогда ранг этой матрицы по меньшей мере равен k. Рассмотрим все окаймляющие миноры (содержащие в себе минор М_k). Если M_k=0, то значит ранг матрицы равен k, но если найдётся хотя бы один M_k+1 порядка 0, тогда процедура повторяется снова

Метод элементарных преобразований

Св-ва ранга

1) ранг матрицы А r(A)min (m,n) r(A)0

2) r(A^T)=r(A)

3) если матрица А диагональна, то её ранг равен числу ненулевых элементов её главной диагонали

r(E_n*n)=n

4) Ранг матрицы не меняется при её элементарных преобразованиях

Метод элементарных преобразований основан на том свойстве, что ранг матрицы не меняется в результате элементарных преобразований. Проделывая элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы её приводят к такому виду , что элементы a₁₁ a₂₂…a_ss0, а все остальные её элементы равны 0, тогда очевидно, что её ранг r(A)=S

9 Слу. Понятия решения, совместности, определённости, эквивалентности слу. Формы представления слу

СЛУ наз любая конечная совокупность линейных уравнений. Система из m уравнений, n неизвестных в развёрнутой форме записи имеет вид:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…а_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+...a_2nx_n=b₂

....................................

a_m1x₁+a_m2x₂+...a_mnx_n=b_m

более компактной записи СЛУ явл запись в векторно-матричном виде:

Ах=b, где xR², AR^m*n, bR^m

a₁₁ a₁₂...a_1n

A= a₂₁ a₂₂ ...a_2n - матрица системы

a_m1 a_m2 ...a_mn

b₁

b₂

b= .... – вектор правой части системы

b_m

x₁

x₂

x= ... – вектор неизвестных.

x_n

Ещё одной формой предствавления СЛУ явл векторная форма записи:

_j=1ⁿA_jx_j=b здесь А_j – j-ый столбец матрицы А, х_j – j-ая компонента вектора х

Решением СЛУ с n неизвестными наз вектор

x₁

x₂

x= ...

x_n

который обращает каждое из уравнений системы в тождество

Система наз совместной если у неё есть хотя бы одно решение в противном случае эта система наз несовместной

СЛУ наз определённой, если у неё есть только одно решение и неопределённой, если у неё есть множество решений

2 СЛУ наз эквивалентными или равносильными, если множества их решений совпадают

Если в правой части СЛУ т.е. вектор свободных членов равен 0, то такая система наз однородной, иначе СЛУ наз неоднородной

Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет тривиальные решения х=0

10 Элементарные преобразования слу

Любое целенаправленное изменение СЛУ наз её преобразованием

К элементарным преобразованиям относятся следущие:

1) перестановка уравнений системы местами

2) вычёркивание из СЛУ пустого уравненияследущего элемента 0х₁+0х₂+…0х_m=0

3) умножение левой и правой части ситстемы на число 0 в каком-либо из уравнений

4) прибавление к какому-либо из уравнению системы др уравнения этой системы, умноженного на произвольное число 0. Любое элементарное преобразование СЛУ даёт систему, эквивалентную исходой