15. Понятие алгоритма…

ЧМ наз. Методы решения задач прикладной мат-ки с пом ЭВМ.

Алгоритмом метода наз.произвольная процедура, порождающая послед-ть точек приближения к решению х^→(0),х^→(1),…,х^→(к) в соотв.с приписанным набором правил.

Преобразования к-го приближения х^→(к) в х^→(к+1) предс собой к-ю итерацию алгоритма. Итерация на каждом шаге реализ-ся заранее заданным порядком действий.

Алгоритм наз.сходящимся на мн-ве S ,если при произвольном начальном приближении х^→(0)€S предел ұ от послед-ти приближения х^→(0),х^→(1),..,х^→(к), опред-мый алгоритмом, сходится к истинному реш-ю х^→*,т.е.lim_к→∞ х^*(к)=х^→*.

Алгоритм завершает свою работу в соотв.с критерием остановок, кот.д.б.задан до начала реализации алгоритма.Критерии остановок различаются в зависимости от исходных задач. Самым главным фактором,определяющим критерием остановок явл.степень отклонения текущего приближения от истинного решения задачи.

16. Классификация чм.

ЧМ разбиваются на классы в соотв.с различ критериями, главными из них являются: (1)направленность метода на решение задач опред области прикладной мат-ки. (2)технические характеристики методов.

По отношению к тому какие производные д.б.использ при реализации метода они разделся на след классы: (1)методы нулевого уровня(не требуют производных функций участвующих задач); (2)методы первого уровня (требуют использования производных функций 1-го порядка); (3)методы 2-го уровня (требуют использования производных функций 2-го и более высоких уровней).

17. Метод наискорейшего спуска (подъема).

Метод предназначен для поиска экстремума функции. Это метод 1-го уровня. Он основан на том факте, что градиент целевой функции указывает направление наискорейшего роста. Описание м:

Итерация 0.выбир-ся точка начального приближения х(0), параметр шага λ, точность решения ε>0.

Итерация к.

(а) производится пересчет очередного приближения по ф-ле х^→(к+1)=х^→(к)+λ▼f(х^→(к)),(1),где λ<0 при поиске min,λ>0 при поиске max.

(б) производится проверка критерия остановок: |х^→(к+1)-х^→(к)|<ε,(2), если (2) справ-во,то алгоритм заканчивает свою работу и в кач-ве решения берется последнее к+1 приближение, т.е.х^→*=х^→(к+1).

(в) делается проверка перескока через точку экстремума. Для этого проверяется нер-во: f(х^→(к+1))<(λ/|λ|)f(х^→(к)),(3), если (3) справ-во, то это означ что произошел перескок через точку экстремума и параметр шага уменьш-ся в несколько раз.

18. Метод сопряженных градиентов.

Предназначен для поиска экстремума функции. Он предст собой модификацию метода наиск.спуска (подъема) и автоматически на каждой итерации учитывает локальные особ-ти целевой ф-и, ускоряя сходимость. Описание метода:

Итерация 0.Выб-ся точка начального приближения, точность решения ε>0, выч-ся направление поиска S^→(0)=▼f(х^→(0).

Итерация к.

(а)находится min (max) ф-и f(х^→) на прямой проведенной из точки х^→(к-1) по напр-ю S^→(к-1).Найденный min (max) опред-ет очередную точку к-го приближения х^→(к). после чего опред-ся напр-е поиска S^→(к) для послед- к+1 итерации. Это напр-е опр-ся по ф-ле: S^→(к) = (▼f(х^→(к)) + S^→(к-1)) (|▼f(х^→(к))|²/| ▼f(х^→(к-1))|²),(1).

(б) делается проверка крит.остановок: |х^→(к)-х^→(к-1)|<ε,(2), если соотн-е справ-во, то алгоритм завершает работу, т.е.х^→*=х^→(к).