47. Равновесие по Нэшу.

Ситуация s^*→ = (s^*_1,…, s^*_i-1,s^*_i, s^*_i+1,…, s^*_n) наз. равновесной по Нэшу (равновесием Нэша), если ни один из игроков G_i не заинтерес в отклонении от своей равновес по Нэшу стратегии s^*_I при усл., что все др. игроки придерж-ся своих равновес по Нэшу стратегий, т.е. если вып-ся соотнош.: ¥ G_i H_i(s^*→) > H_i(s^*→//s_i^′), (1).

Равновесие Нэша сущ во мн случаях, и счит классич-им реш. игры. Необх усл-я для реализ. равновесия Нэша.:

1) знание кажд. игроком как своих, так и чужих стратегий ф-ции выигрыша;2) вера в рацион-сть соперников и взаимное доверие.

Недост-ками равновесия Нэша явл. след.:

1) в некот. играх равновесие по Нэшу в чистых стратегиях может отсутств2) равновесных по Нэшу ситуаций в некот. играх м.б. много, причём они м.б. неравноценны для игроков 3) одноврем отклонение от равновесной по Нэшу ситуации 2х и > игроков сразу может способств > их выигрышей, что подталкивает игроков к нарушению равновесия. Равновесие в домин-щих стратегиях всегда явл. равновесием Нэша. Обратное справ-во не всегда.Случаи, когда мн-ва стратегий игроков содержат бесконечно большое мн-во стратегий и м.б. поставлены во взаимно однозначное соотв-е с мн-вами точек отрезка вещественной оси, то тогда равновесие по Нэшу можно найти следуя теореме Нэша.

Т. Нэша. Пусть мн-ва s_i, i=1,n игроков G_i явл. выпуклыми и компактными мн-вами, а ф-ции выигрышей H_i(s^→) = H_i( s_1,…, s_i-1, s_i, s_i+1,…, s_n) явл. вогнутыми ф-циями по перемен. S_i на мн-вах стратегий S_i , i=1,n.Тогда равновесные по Нэшу стратегии s^*_i, i=1,n м.б. найдены из ур-ия: ∂H_i(s^*→)/ ∂s_i = 0, i=1,n,(2).

Пример:2 конкурирующие фирмы F₁ и F₂ пр-дят и выставляют на продажу одинаковый товар кол-вом S₁ и S₂ соотв-но.Цена Р товара на рынке завис от степени его насыщения и опр-ся формулой р=α-β(S₁+S₂).Себест-ти товара заданы и равны: F₁= С₁ и F₂=С₂.Опред равновесную по Нэшу ситуацию,считая стратегиями фирм кол-ва производимой ими прод-ции S₁ и S₂.Предп-ся,что произ-ся бесконечно делимая прод-ция,кот.успешно продается).

Решение:прибыли П₁ и П₂ фирм F₁ и F₂ соотв-но опр-ся соотн-ем:

П₁=(α-β(S₁+S₂))S₁-С₁S₁=Н₁(S₁,S₂);

П₂=(α-β(S₁+S₂))S₂-С₂S₂=Н₂(S₁,S₂);

По теор.Нэша из (2)=>:

∂H₁(s^→)/ ∂s₁ =∂П₁/∂S₁= α-2βS₁ -βS₂-С₁=0

∂H₂(s^→)/ ∂s₂ =∂П₂/∂S₂= α-βS₁ -2βS₂-С₂=0

Откуда: 2S₁+S₂=(α-С₁)/β

S₁+2S₂=(α-С₂)/β

Решая эту СЛУ,получаем решение-равновесные по Нэшу страт-и

S*₁=1(α-2C₁+C₂)/3β; S*₂=1(α-2C₂+C₁)/3β .

Полученные в примере равновесные по Нэшу стратегии S₁ и S₂ реализуют равновесие Курно,что явл-ся следствием общего утверждения:всякое равновесие Курно явл-ся равновесием Нэша. Такой нед-ток равновесия Нэша как возможное сущ-ие неск-их равновесий, неравноценных для игроков, а также соблазн к отклонению путём создания коалиций, подталкивает к применению более сильных критериев оптим-сти, одним из кот. явл. сильное равновесие по Нэшу.