29. Задача поиска мин остовного дерева

Треб-ся построить граф, все вершины кот. Соед-ся путями наим суммарной длины.Описание алгоритма реш-я задачи: обозн ч/з Х_к мн-во вершин (узлов сети),соед-х п/е вып-я к-ой итерации, а ч/з Х^¯¯¯_к мн-во узлов сети несоед-х с вершинами Х_к.

Итерация 0. Х₀=Ø ,Х¯₀=Х.

Итерация 1. выб-ся ¥ вершина х₁ из Х₀ и опр-ся мн-во Х₁={х₁} и Х¯₁=Х\{х₁}. Полагается к:=к+1(к=2).

Итерация к. В мн-ве Х¯_к-1 выбираем вершину х_к, кот. соединена самой короткой дугой с к-л узлом из множ-ва Х_к-1. Вершина х_к присоед-ся к мн-ву Х_к-1 и удаляется из множ-ва Х¯_к-1, т.е.Х_к=Х_к-1U{х_к}, Х¯_к=Х¯_к-1\{х_к}. Если мн-во Х¯_к пусто, то алгоритм завершает свою работу. В противном случае полагается к:=к+1 и повторяется последняя итерация.

30. Задача о min потоке

Рассм. сеть с графом Г(X,A) и м-цей G(X,A)_m*n=(g_ij)_m*n. Предполож,что кажд. дуге сопост 3 числа s_i, c_i, p_i, означ соотв-но длину дуги, её пропускную спос-ть и ст-ть ед-цы потока, проходящ. по этой дуге. Треб-ся найти min пропускную спос-ть сети м/у узлом-источником х_р и узлом-приемником x_q, т.е. ск-ко у.е. потока м.б. пропущено по дугам данной сети для того, чтобы обеспеч min поток, втекающ. в узел-приемник x_q. Обозначим ч/з z_i в-ну потока по дуге α_i, тогда задача сводится к след. ЗЛП:

f(z^→)=∑^m_i=1 g_iqz_i→min,(1);

∑^m_i=1 (g_ip+g_iq)z_i=0

∑^m_i=1 g_ikz_i=0, k≠p,q, (2).

Z_i ≥ 0, z_i ≤ c_i, i=1,^¯m

Здесь f(z) - суммарная в-на потока, втекающ. в x_q.

Первое ограниче означ рав-во вытекающего из источника x_p и втекающего в x_q потоков. 2ое ограничение означ отсутствие скоплений на кажд. промежуточном узле.

31. Задача о потоке наименьшей ст-ти.

Пусть задана сеть с графом Г(X,A) и м-цей G=(g_ij)_m*n. Пусть кажд. дуге α_i сопост 2 числа c_i и p_i, означающ. пропускную спос-ть и ст-ть пропуска ед-цы потока соотв-но. Треб-ся найти потоки наим суммарной ст-ти по данной сети при усл., что в-на потока, втекающ. в узел-приёмник x_q не меньше заданной в-ны τ. Сведём задачу к ЗЛП. Обозначим ч/з z_i в-ну потока по дуге α_i. Тогда задача сводится к след. ЗЛП:

f(z^→)=∑^m_i=1 p_iz_i→min,(1)

∑^m_i=1 (g_ip+g_iq)z_i=0

∑^m_i=1 g_ikz_i=0 ¥ k≠p,q, (2)

∑^m_i=1 g_iqz_i ≥ τ

z_i ≤ c_i, z_i ≥0, i=1,¯m

Третье огран-е означает, что суммарный поток по узлу-приёмнику не меньше заданной в-ны τ.

32. Задача о кратчайшем и критическом путях.

Пусть задана сеть с графом Г(X,A) и м-цей инцидентности G=(g_ij)_m*n. Пусть кажд. дуге α_i сопост-но число s_i, означ длину дуги. Треб-ся найти кратчайший или критический (наиб. длинный) пути, связывающие источник x_p с приёмником x_q.

Пусть z_i={_{0 - в противн. случае}^{1, если αi участвует в пути} ,

тогда задача м.б. пред-на в виде след. ЗЛП:

f(z^→)=∑^m_i=1 s_iz_i→min (max) ,(1)

∑^m_i=1 g_iqz_i=-1

∑^m_i=1 g_iqz_i=1

∑^m_i=1 g_ikz_i=0, k≠p,q, (2)

z_i ≥ 0, z_i ≤ 1, целое, i=1,¯m