26.Осн понятия теории графов и сетей

СМ применяются для оптимизации оп-ций над сложными объектами или процессами (транспортные, телекоммуникационные сети)

Сетевой моделью наз.представления объекта или процесса связанных с оп-цией в виде графа с набором дополн усл-й.

Графом Г(Х,А) наз.сов-ть мн-ва Х наз-мого мн-вом вершин и мн-во пар элементов из Х А- называемого мн-вом дуг. Графы часто отображают графич способом.

Если дугам поставлены в соотв-е по 1-му или неск-ко по неск-ко чисел, то такой граф наз.сетью. Две вершины графа наз.соседними (смежными), если есть дуга их соединяющая. Дуга и ¥ из ее 2-х вершин наз.инцидентными. Аналитическое описание графа обычно делается с помощью м-цы инцидентности.

М-цей инцидентности G(Х,А) графа Г(Х,А) наз.мат-а, имеющая строк ст-ко ск-ко дуг у графа, а столбцов ст-ко ск-ко вершин, элементы g_ik опр-ся след.образом:

-1, если i-ая дуга выходит из к-ой вершины

g_ik= 1, если i-ая дуга входит в к-ую вершину

0, если проходит мимо

Путём в графе наз.такая послед-ть (набор дуг), в кот.конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом следующей.Ребром р графа наз.¥ пара вершин, соединенных дугой. В отличии от дуги ребро не имеет ориентации.Цепью наз.послед-ть ребер, в кот.у каждого ребра р_к граничные вершины явл-ся также граничными р_к-1 и р_к+1 (исключая начальное и конечное ребро).Циклом наз.конечная цепь с началом и концом в одной и той же вершине. Граф наз.связным, если ¥ 2-е вершины соединены цепью.Деревом наз.конечный связный граф без циклов, имеющий не менее 2-х вершин. ¥ дерево имеет единств вершину, не явл конечной ни для какой дуги. Такая вершина наз.корневой.

27. Критерии пути

Рассм.произвольное подмн-во α_i1,α_i2,…α_il дуг графа Г(Х,А), имеющего вершины х1, х2,..,х_n и м-цу инцидентности G(Х,А)=(g_ij)_mxn.

Т.(критерии пути): набор дуг α_i1,α_i2 ,…,α_in образуют путь из х_p в х_q только тогда, когда вып-ся соотн-я:

а) ∑^l_к=1 g_ikp=-1 («выхода» из х_р)

б) ∑^l _k=1g_ikq=1 (условие «входа» в х_q)

в)∑^l _k=1g_iks=0 ¥s≠p,q (условие пропуска или транзита ¥ х_s)

28. Задача о замене как задача поиска кратч пути

Данная задача явл-ся актуальной для мн.практич приложений и м.б.решена методом динамического прогр-я с исп-нием критерия пути. Задача о замене: Компа о замене: Компавтомобилей разраб план по обновлению парка своих машин на 5-летний период.Характ-ки зат-т,связ с эксплуатацией и заменой старой машины на новую,заданы в табл.1.Для простоты считаем,что оп-ция по замене может произвся 1 раз в год в его начале.

Возраст машины,лет	Ст-ть замены на новую,т.р.	Ст-ть годов. Обслуж(в.т.р)
1	80	3
2	90	8
3	110	18
4	140	30
5	180	45

Треб-ся опр-ть момент замены старых машин на новые при усл,что предело «возраста» машины явл-ся 5 лет.Решение:

Представим все возможные вар-ты замен в идее сети.В вершинах графа сети,показанных кружками,будем записывать оптим.знач-я суммарных зат-т,связ.с эксплуат.и заменой . Стрелки,направленные вправо -вверх,означ.дальнейшую эксплуат.;стрелки,направл.вниз,означ.замену.Заполнение вершин ведём методом обратной прогонки справо налево,зачеркивая неоптим.пути.Без ограничения общности можно считать,что все машины парка в начале каждого 5-летнего цикла явл-ся новыми.Оптим.оп-ция по замене будет соотв-ть пути min длины м/у начальной и конечной вершинами полученного графа,где в кач-ве длин дуг берутся ст-ти соотв-щих этим дугам оп-ций.

П/е обратной прогонки производим прямую,выделяя жирным стрелки незачеркнутых оптим.оп-ций.Т.о. оптим.цикл эксплуат.и замен состоит в составляющих (2+3) (3+2), где числа означ.продолжительность эксплуат.новой машины.Оптим.зат-ты по всей оп-ции =240 т.р.