66. Теорема Неймана:

¥ конечная антогон.игра имеет решение (µ^*₁,µ^*₂) в смеш.стратегии при этом справ-вы соотн-ния:

max_µ1min_µ2K₁(µ₁,µ₂)=min_µ2max_µ1K₁(µ₁,µ₂)= K₁(µ^*₁,µ^*₂)=γ,(1),

¥ j=1,n^¯¯ K₁(µ^*₁,s²_j)=∑^m_i=1α_ijp_1i≥γ,(2),

¥ i=1,m^¯¯ K₁(s¹_i,µ^*₂)=∑ⁿ_j=1α_ijp_2j≤γ,(3).

67. Решение ант.Игры в смеш. Стратегиях методом лин прогр-я

Т.Неймана явл.конструированной, т.к.дает простой способ решения ¥ конечной ант.игры методом линейного прогр-я. Из ¥ j=1,n^¯¯ K₁(µ^*₁,s²_j)=∑^m_i=1α_ijp_1i≥γ,(1),

¥ i=1,m^¯¯ K₁(s¹_i,µ^*₂)=∑ⁿ_j=1α_ijp_2j≤γ,(2) следует, что задачи определения уравнов.смеш.стратегий игроков образуют двойственную пару задач лин.програм.:

ДляG1 Для G2

γ→max γ→min

∑^m_i=1α_ijp^*_1i≥γ ∑ⁿ_j=1α_ijp^*_2j≤γ

∑^m_i=1p^*_1i=1 (3) ∑ⁿ_j=1p^*_2j =1 (4)

p^*_1i≥0, i=1,m^¯¯ p^*_2j ≥0,j=1,n^¯¯

В задаче (4) искомыми изменяемыми переменными явл-ся p^*_1i, i=1,m^¯¯ и γ, в (4)- p^*_2j,j=1,n^¯¯ и γ. Из max_µ1min_µ2K₁(µ₁,µ₂)=min_µ2max_µ1K₁(µ₁,µ₂)= K₁(µ^*₁,µ^*₂)=γ,(5) следует, что значение γ одинаково в этих задачах.

68. Графический метод решения ант.Игры размера mx2 (2xn)

Когда один из игроков имеет всего 2-е чист.страт.примен граф.м-д решения игры. В основе – т.Неймана (соотн-я

¥ j=1,n^¯¯ K₁(µ^*₁,s²_j)=∑^m_i=1α_ijp_1i≥γ,(1),

¥ i=1,m^¯¯ K₁(s¹_i,µ^*₂)=∑ⁿ_j=1α_ijp_2j≤γ,(2)). Метод реализуется за 2-а щага.

Шаг1:В декартовой с-ме координат строятся графики средних выигрышей K₁(µ₁,s²_j) игрока G1на его смеш.стратегии в µ₁ и при ответной чистой страт.игрока G2: K₁(µ₁,s²_j)=p₁₁α_1j+(1-p₁₁)α_2j, 0≤p₁₁≤1,j=1,n^¯¯,(3).

Формулой (3) определяют отрезки прямых см.рис.

Шаг2:Среди построенных отрезков ищется max нижней огибающей всего семейства. Точка max опред искомое зн-е р^*₁₁ и вел-ну γ цены игры. Аналогично ищется решение игры mx2. На 1-ом шаге строится K₁(s²_i,µ₂)=α_i1p₂₁+α_i2(1-p₂₁),0≤p₂₁≤1,i=1,m^¯¯.На 2-ом шаге ищется min верхней огибающей построенного семейства, кот.и определяет искомые величины р^*₂₁ и γ.

69.Содержание и формы представления игры против природы

Игрой п/в природы наз.матем.модель конфликта 2-х лиц, одна из кот.не имеет цели, но своими действиями или состояниями сущ-но влияет на кач-во принимаемых другим лицом решений. Такое, не имеющее цели лицо наз.природой.

Игру п/в природы удобно опис антог.игрой, считая выигрыши (ЛПР) проигрышами природы и наоборот. Игру п/в природы в норм форме задают с пом платежной мат-цы (α_ij)_mxn, элементами кот. α_ij явл выигрышами (проигрышами) ЛПР в ситуации s^→=(s¹_i,s²_j), когда ЛПР выбирает стратегию (решение) s¹_i , а природа реализует состояние s²_j.

Если α_ij платёжной мат-цы есть выигрыши ЛПР, то тогда эта мат-ца наз.мат-цей полезности (выигрышей). В случае, когда α_ij явл-ся проигрышами ЛПР плат.мат-цы наз.матрицей потерь.

Игра п/в природы в позиционной форме задают в виде дерева игры, у конечных вершин кот.простраиваются выигрыши (проигрыши) ЛПР, а у каждой промежуточной вершины указывается кто из игроков ЛПР или природа «входит» в данные позиции.