- •1 Матрицы. Виды матриц
- •Специальные матрицы
- •2 Определители. Определение и свойства определителей
- •3.Алгебраическое дополнение и минор
- •4. Теорема (о разложении определителя по строке (столбцу))
- •Теорема об умножении определителей
- •5. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице
- •Теорема об обратной матрице
- •6 Поиск обратной матрицы методом союзной матрицы
- •8.Поиск ранга матрицы методом окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований Метод окаймляющих миноров
- •Метод элементарных преобразований
- •9 Слу. Понятия решения, совместности, определённости, эквивалентности слу. Формы представления слу
- •10 Элементарные преобразования слу
- •11 Теорема Кронекера-Капелли
- •12 Метод Крамера решения слу
- •13 Метод Гаусса решения слу
- •14 Балансовая модель Леонтьева
- •15 Элементы геометрии многомерных пространств (понятия точки, вектора, линейной комбинации, базиса, модуля, угла между векторами, отрезка)
- •17 Выпуклые множества и системы линейных неравенств. Теорема о пересечении выпуклых множеств. Теорема о разделяющей гиперплоскости. Теорема о выпуклости полупространства.
- •21 Понятие ограниченного множества. Понятие эпсилон-окрестности
- •20Общая постановка змп
- •22. Понятие дифференцируемой функции, градиента функции, стационарной точки функции. Понятие матрицы Гессе
- •23 Понятие положительной (отрицательной) определённости матрицы
- •34 Метод подстановки решения знлп с ограничениями-равенствами
- •24 Понятие вектор-функции и матрицы Якоби
- •25 Производная по направлению. Теорема о производной по направлению. Теорема о градиенте.
- •29 Теорема о необходимых условиях экстремума . Т-ма о дост-х усл-х экстремума. Теорема о необходимых условиях экстремума
- •27 Понятие касательной гиперплоскости и нормали
- •28 Формула Тейлора. Разложение Тейлора
- •40 Теорема Вайерштрасса
- •39 Достат-ть усл-й к-т
4. Теорема (о разложении определителя по строке (столбцу))
Определитель равен сумме произведений всех элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения
А=i=1naijAij – по j-ому столбцу
А=j=1naijAij – по i-ой строке
Теорема об умножении определителей
Определитель матрицы А*В равен произведению определителей матрицы А и В АВ=А*В
5. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице
Пусть задана квадратная матрица Аn*n. Матрица Вn*n такая, что А*В=В*А=Е наз обратной к матрице А и обозначается А-1
Теорема об обратной матрице
Квадратная матрица А имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда определитель матрицы А не равен 0 det A0
Обратная матрица единственна и определяется по формуле:
А-1= (1/det A)*А*
Где А* является союзной к матрице А и определяется по формуле
А*=Аijт, т.е. элементами союзной матрицы являются элементы транспонированной матрицы алгебраических дополнений
Следствие:
По теореме о связи минора и алгебраических дополнений обратная матрица равна
А-1=(1/det A)*(-1)i+jMijт
6 Поиск обратной матрицы методом союзной матрицы
Обратная матрица методом союзной матрицы находится по формуле:
А-1= (1/det A)*А*
Где союзной является матрица: А*=Аijт
Суть метода состоит в поиске Аij=(-1)i+jMij и составлении из них союзной матрицы А*. Затем находится обратная матрица А-1 путём умножения элементов союзной матрицы А* на отношение 1/det A
Метод союзной матрицы имеет 1 существенный недостаток, он требует слишком много вычислений. Например, для матрицы размером n*n чтобы найти обратную матрицу требуется вычислить n2 миноров порядка n-1
Поиск обратной матрицы методом элементарных преобразований
В основе этого метода лежат следующие особенности элементарных преобразований:
1) преобразования 1 типа – умножение i-той строки матрицы А на число 0 эквивалентно умножению матрицы А слева на матрицу:
(i)
1……….
…1…….
L(i)=………….
……….
…………1 n*n
2) преобразования 2 типа – прибавление i-той строки матрицы А её j-ой строки умноженное на некоторое число 0 эквивалентно умножению матрицы А слева на матрицу:
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
L(i)=0 0 1… 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
3) преобразования 3 типа – перестановка 2х строк исходной матрицы может быть заменена последовательностью преобразований 1,2 типа
Опишем метод элементарных преобразований:
Суть этого метода состоит в том, что в результате конечной последовательности элементарных преобразований 1,2,3 типа любая матрица А может быть сведена к единичной матрице АЕ. Единственным условием является то, что определитель этой матрицы не должен равняться 0 А0 (такие матрицы называются невырожденными). В результате последовательности преобразований мы получаем Lk Lk-1…L2 L1*A=E
Домножим это уравнение справа на матрицу А-1 получим:
Lk Lk-1…L2 L1*A*А-1=E*А-1
Т.о. получаем Lk Lk-1…L2 L1*Е=А-1
Т.е обратная матрица автоматически получается из единичной если к ней применить ту же последовательность преобразований, что и при проведении исходной матрицрицы А к единичной матрице
Поиск обратной матрицы методом элементарных преобразований состоит из следующих этапов:
1) Записывается расширенная матрица, которая состоит из матрицы А и единичной матрицы того же порядка (АЕ)n*2n
2) Над строками полученной матрицы выполняются элементарные преобразования т. о, чтобы на месте матрицы А образовалась матрица Е, тогда та матрица, которая будет стоять на месте единичной матрицы будет образовывать искомую обратную матрицу.
7 Понятие минора k-ого порядка. Ранг матрицы. Понятие базиса в системе строк (столбцов) матрицы. Теорема о базисном миноре (о ранге)
Ранг матрицы Аm*n – это наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы r(A)
Ранг матрицы можно найти 2 способами:
1) метод окаймляющих миноров
2) метод элементарных преобразований
Ранг матрицы тесно связан с понятием линейной независимости строк и столбцов матрицы. Рассмотрим матрицу Аm*n. Обозначим Аj – j-ый столбец матрицы А. Система столбцов G, которая состоит из k столбцов матрицы А наз линейнонезависимой, если существуют такие 12…k0 одновременно, что сумма j=1kjAj=0, где 0 – это нулевой
вектор размера m*1
Выражение j=1kjAj наз линейной комбинацией столбцов, в противном случае система столбцов наз линейно зависимой
Система столбцов G наз базисом системы столбцов матрицы, если:
1) все столбцы системы G явл столбцами этой матрицы
2) система G линейно зависима
3) любой Aq (столбец матрицы А) может быть представлен в след виде:
1,2,…,k
j=1kjAj=Aq
т. е. любой столбец матрицы можно представить в виде линейной комбинации её базисных столбцов.
Любой отличный от 0 минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы наз её базисным минором
Теорема о базисном миноре
Ранг матрицы равен числу линейно независимых строк этой матрицы или столбцов, при этом система строк или столбцов матрицы, содержащая базисный минор образует базис системе всех строк (столбцов) матрицы