- •1 Матрицы. Виды матриц
- •Специальные матрицы
- •2 Определители. Определение и свойства определителей
- •3.Алгебраическое дополнение и минор
- •4. Теорема (о разложении определителя по строке (столбцу))
- •Теорема об умножении определителей
- •5. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице
- •Теорема об обратной матрице
- •6 Поиск обратной матрицы методом союзной матрицы
- •8.Поиск ранга матрицы методом окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований Метод окаймляющих миноров
- •Метод элементарных преобразований
- •9 Слу. Понятия решения, совместности, определённости, эквивалентности слу. Формы представления слу
- •10 Элементарные преобразования слу
- •11 Теорема Кронекера-Капелли
- •12 Метод Крамера решения слу
- •13 Метод Гаусса решения слу
- •14 Балансовая модель Леонтьева
- •15 Элементы геометрии многомерных пространств (понятия точки, вектора, линейной комбинации, базиса, модуля, угла между векторами, отрезка)
- •17 Выпуклые множества и системы линейных неравенств. Теорема о пересечении выпуклых множеств. Теорема о разделяющей гиперплоскости. Теорема о выпуклости полупространства.
- •21 Понятие ограниченного множества. Понятие эпсилон-окрестности
- •20Общая постановка змп
- •22. Понятие дифференцируемой функции, градиента функции, стационарной точки функции. Понятие матрицы Гессе
- •23 Понятие положительной (отрицательной) определённости матрицы
- •34 Метод подстановки решения знлп с ограничениями-равенствами
- •24 Понятие вектор-функции и матрицы Якоби
- •25 Производная по направлению. Теорема о производной по направлению. Теорема о градиенте.
- •29 Теорема о необходимых условиях экстремума . Т-ма о дост-х усл-х экстремума. Теорема о необходимых условиях экстремума
- •27 Понятие касательной гиперплоскости и нормали
- •28 Формула Тейлора. Разложение Тейлора
- •40 Теорема Вайерштрасса
- •39 Достат-ть усл-й к-т
29 Теорема о необходимых условиях экстремума . Т-ма о дост-х усл-х экстремума. Теорема о необходимых условиях экстремума
Пусть ф-ия f(x) имеет в т. x* экстремум, тогда все ее частные произв-ые первого порядка в этой т.=0, т.е. x *явл-ся стацион-й т.:
f(x*)/xj=0, j=1,n (10)
соотношение (10) эквивалентно следующему соотношению:
f(x*)=0 (11)
Т-ма о дост-х усл-х экстремума.
Пусть ф-ия f(x) имеет непрерывные производные 2-го порядка в стац-й т.x*,тогда т. x*
Явл-ся т. мах-ма,если м-ца Гессе Н(x*) ф-ии f(x)в т. x* отриц-но опр-на, и т. min-ма,если м-ца Н(x*) полож-но опр-на. Док-во: следует из разложения Тейлора в стационарной точке
Теорема об условиях определённости матрицы. Классический метод поиска экстремума функции без ограничений
классич-й м-од поиска экстремума ф-ии
Ш 1 решить сист-у ур-й f(x*)/xj=0 j=1,n либо f(x*)=0 и найти все стац-ые т.-и подозрительные на экстремум
Ш 2 уст-ть тип опр-ти м-цы Гессе во всех найден-х стац-х т.-х и опр-ть тип экстремума в этих т.-х(мах или мin)
Т-ма об усл-х опр-ти м-цы
Справед-вы след-е усл-я:
1)квад-я м-ца полож-но опр-на когда значения всех ее гл-х миноров полож-ны
2) квад-я м-ца отриц-но опр-на когда знак ее гл-го минора к-го порядка опр-ся знаком
Замечание
Если при реализации классического метода поиска экстремума матрицы Гессе целевой функции в стационарной точке не явл не положит не отриц определённой, то тогда для выяснения типа возм экстремума функции требуется исследовать или рассмотреть разложение этой функции по формуле Тейлора с точностью до производной болеее второго порядка или 2
27 Понятие касательной гиперплоскости и нормали
Пусть Rn-нек-е число,а f(x)-нек-я ф-ия, где xRn. Множ-м M ур-ня β ф-ии f(x) наз-ся множ-во всех таких т. xRn,коор-ты кот-х удовл-т ур-ию f(x)= β
В плоском сл-е,когда n=2, множ-во ур-ия β наз-ся линией ур-ия β.
В сл-е n>=3-поверхностью ур-ия β
Касат-й гиперпл-тью П(y) к множ-ву ур-ия β M ф-ии f(x) в т. y наз-ся множ-во xRn удовл-х ур-ию:
Tf(y)*(x-y)=j=1nf(y)/xj*(xj-yj)=0 (1)
при =2, кас-я гиперпл-ть наз-ся кас-й прямой
при =3,кас-й пл-ти
Рассмотрим гиперплоскость r={xRn:cTx=}
вектором нормали(нормалью) в гиперпл-ти r наз-ся векторc компонентами кот-го служат коэф-ты при перем-х xj в ур-ии гиперпл-ти r
cTx=j=1ncjxj= т.е. cT=(c1,c2…cn)
Вектор нормали с ортогонален гиперпл-ти r. В сл n=2 и n=3 ортогон-ть означает перпендикулярность
Из ур-ия (1) след-ет,что градиент ф-ии явл-ся в-ром нормали к любой касат-й гиперпл-ти к множ-ву ур-ия этой ф-ии
28 Формула Тейлора. Разложение Тейлора
Ф-ла Тейлора.
Пусть f(x)-нек-я ф-ия,если она диф-ма m+1 раз, в нек-й окрест-ти O(y) в т. yRn,то справ-ва ф-ла Тейлора:
f(x)=[k]=0m 1/k! [k]f(y)/x1k1x2k2…xnkn*(x1-y1) (x2-y2)… (xn-yn)+0(x-ym) (2)
[к]=к1+к2+…кn,
где к1,к2,…,кn-целые числа
0(x-ym)-остаточный член в форме Пеано,облад-й св-м: limxy0(x-ym)/ x-ym=0 (3)
т.е. остаточный член-пренебрежимо малая величина,по сравнению с. x-ym
Представление f(x)по ф-ле Тейлора (1) наз-ся разложением Тейлора ф-ии f(x) с точностью до производных m-го порядка
В частн разложение Тейлора функции f(x) в точке y с точностью до производных 2ого порядка есть:
f(x)=f(y)+Tf(y)(x-y)+(x-y)TH9y)(x-y)+0(x-y2 (4)
где H(y) – матрица Гессе функции f(x) в точке y
f(x)=f(y)+j=1nf(y)/xj(xj-yj)+1/2i=1nj=1n(xi-yi)2f(y)/xixj*((xj-yj)+0x-y2)
В частн если точка y явл стационарной, то из (4) вытекает:
f(x)f(y)+1/2(x-y)TH(y)(x-y)
в одномерном случае для
f(x)=k=0m1/k!f(k)(y)(x-y)k+dx-yk+1 (6)
fk(y)=dkf(y)/dxk
если функция f(x) явл аналитической т.е. бесконечно дифференцируемой, то тогда она может быть разложена в ряд Тейлора, когда m в формуле (2)
f(x)=[k]=0 1/k! [k]f(y)/x1k1x2k2…xnkn*(x1-y1) (x2-y2)… (xn-yn) (7)
в одномерном случае когда xR1
f(x)=k=0fk(y)/k!(x-y)k (8)
Разложение Тейлора мощное средство мат анализа позволяющее представить функцию в виде степенного ряда с целью последовательного вычисления или применения прикладных задач.