2 Определители. Определение и свойства определителей

Инверсия

Перестановка Р некоторых чисел Р={i₁,i₂ ,...,i_n} это расположение целых натуральных чисел в произвольном порядке. Например: {1,2,3}; {1,3,2}. Говорят, что в перестановке Р числа i_k,i_l образуют инверсию или непорядок, если число i_k больше чем число i_l для k<l то есть выполняется условие (i_k-i_l)(k-l)<0

I(P) – число инверсий в перестановке Р, например для перестановки Р={1,2,3} число инверсий равно 0 для Р={3,2,1} I(P)=3

Определителем или детерминантом квадратной матрицы A_n*n наз алгебраическая сумма n! слагаемых каждое из которых представляет собой произведение n элементов матрицы А взятых по одному из каждой строки и каждого столбца с определённым знаком. Обозначается Д=det(A)=‌│A│‌‌=∑_i1=1ⁿ∑_i2=1ⁿ...∑_in=1ⁿa_1i1; i₂≠i₁ i_n≠i₁,i₂...i_n-1 a_2i2...a_nin(-1)^{I(i1,i2,...in)}

Из определения следует, что определитель матрицы первого порядка будет равен │А_1*1│=а₁₁

Определитель матрицы 2 порядка │А_2*2│=а₁₁*а₂₂-а₁₂*а₂₁

Определитель матрицы 3 его порядка │А_3*3│=а₁₁*а₂₂*а₃₃+а₁₂*а₂₃*а₃₁+а₁₃*а₂₁*а₃₂-а₁₁*а₂₃*а₃₂-а₁₂*а₂₁*а₃₂-а₁₃*а₂₂*а₃₁

Для вычисления определителя 3его порядка, удобно использовать правило Саррюса. Это правило показывает как формируются отдельные слагаемые выражения для определителя матрицы 3его порядка и с каким знаком эти слагаемые необходимо брать.

Замечание

Определители более высоких порядков по формуле (1) считать сложно для этого используются специальные методы вычисления определителей.

Свойства определителей:

1 При транспонировании матрицы её определитель не меняется │А^т│=│А│

2 Если в матрице есть нулевая строка или столбец, то её определитель равен 0

3 При перестановке строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный

4 Если какую-либо строку или столбец матрицы умножить на число λ, то определитель этой матрицы будет равен λ*│А│

5 определитель матрицы не изменится, если к любой его строке или столбцу прибавить другую строку или столбец, умноженную на какое-либо число

3.Алгебраическое дополнение и минор

Минором k-ого порядка матрицы А наз определитель матрицы размерности k*k составленной из любых k строк и k столбцов матрицы A

1 2 1

A=3 1 0

2 1 0

12 21 30

31 10 20

Главным минором матрицы A наз определитель матрицы составленный из k строк и k 1ых столбцов матрицы A

Минором элемента а_ij матрицы А наз определитель матрицы, полученный вычёркиванием j-ого столбца i-ой строки Например:

Рассмотрим определитель матрицы А выберем все слагаемые включающие элемент а_ij и вынесем этот элемент за скобку а_ij, выражение стоящее в скобках наз алгебраическим дополнением элемента а_ij матрицы А и обозначается А_ij

Теорема (о связи алгебраического дополнения и минора)

Минор М_ij элементов а_ij матрицы А связан с алгебраическим дополнением следующим соотношением: А_ij=(-1)^i+jM_ij Т.о. алгебраическое дополнение либо совпадает с минором М_ij либо равен – M_ij в зависимости от того является ли сумма i+j чётным числом или нечётным