14 Балансовая модель Леонтьева

Рассмотрим экономику из n взаимосвязанных отраслей. Обозначим через x_i, i=1,n, величину валового выпуска в условных единицах i-ой отрасли за некоторый период. Через z_ij обозначим количество продукции i-ой отрасли, которой за тот же период было потреблено j-ой отраслью. Предположим, что экономика находится в стабильном состоянии, при котором выполняется уравнение баланса:

x₁=z₁₁+z₁₂+...+z_1n+y₁₁

x₂=z₂₁+z₂₂+...+z_2n+y₂

.................................. (1)

x_n=z_n1+z_n2+...+z_nn+y_n

где y_j – конечный продукт i-ой отрасли (та часть валового выпуска, которая не участвует в производстве, а продаётся)

Леонтьев предложил выразить взаимные потребления z_ij отраслей в виде линейной функции:

(2) z_ij=a_ij*x_j, где a_ij – технологический коэффициент, содержательного означающий количество продукции i-ой отрасли (в усл ед) необходимый для производства единицы продукции j-ой отрасли

Следствием чего балансовое уравнение (1) принимает вид:

x₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n+y₁

x₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n+y₂

x_n=a_n1x₁+a_n2x₂+...+a_nnx_n+y_n

(3) X=AX+Y – балансовая модель Леонтьева

x₁

X= … - вектор валового выпуска

x_n

А – стр-ая матрица

А=(а_ij)_n*n

y₁

Y= ... – вектор конечного продукта

y_n

C помощью анализа уравнения (3) можно решать множество прикладных задач экономики.

15 Элементы геометрии многомерных пространств (понятия точки, вектора, линейной комбинации, базиса, модуля, угла между векторами, отрезка)

Любая точка Х характеризуется двумя числами (х₁,х₂) координатами этой точки, с др стороны любой упорядоченный набор чисел х_1,х₂ – это вектор хR², который может быть интерпретирован как направленный отрезок из начала координат в точку Х. Интерпретируемый таким образом вектор х наз радиус вектор точки Х. Его длина или модуль вектора есть х=х₁²+х₂² Все точки отрезка Ох могут быть описаны с помощью вектора х, где [0,1], т к умножение вектора на число не меняет его направления. Рассмотрим вектора е₁^Т=(1,0) е₂^Т=(0,1) направленные вдоль координатных осей. Эти вектора образуют канонический базис на плоскости т к любой вектор х может быть представлен в виде линейной комбинации е₁ и е₂

х=х₁е₁+х₂е_2. Интерпретация вектора х как направленного отрезка заданной длины даёт возможность геометрической интерпретации операции сложения, вычитания и умножения вектора на число

При сложении и вычитании векторов возможно свободное перемещение на плоскости направленных отрезков соответственно этим векторам (начало этих отрезков можно перемещать, но направления следует сохранять). Нетрудно показать, что угол _xy может быть двумя векторами x y определяется формулой: arcos x₁y₁+x₂y₂/xy

Выражение в числителе – скалярное произведение векторов X=(x₁,x₂), Y=(y₁, y2) Определяется по формуле: (x,y)=x₁y₁+x₂y₂

Распространим рассмотренные элементы плоскости на многомерные пространства. Предположим, что набор чисел (x₁,x₂,...x_n) определяется точкой в n-мерном пространтве. При этом радиус-вектором этой точки является вектор Rⁿx^T=( x₁,x₂,...x_n)

Т.о. элементы векторного пространства Rⁿ можно интерпретировать как точки и как радиус-векторы направленные отрезки из начала координат в эти точки, поэтому далее под фразой «xRⁿ» будем понимать точку n-мерного пространства с радиус-вектором х.

Модулем x(длиной вектора хRⁿ назовём величину

х=_j=1ⁿx_j²

Скалярным произведением (x,y,) векторов x,yRⁿназ величина (x,y)=_j=1ⁿx_jy_j

Углом _x,y между векторами x,y наз угол определяемый по формуле:

_x,y=arccos(x,y)/ xy

Вектора x,y для которых _x,y=0 наз коллинеальными

Вектора _x,y=/2 наз ортогональными

Отталкиваясь от плоскости введём понятие отрезка в n-мерном пространстве.

Любая точка P на отрезке XY может быть представлена соответствующим радиус-вектором p, который определяется p=x+(y-x) (4) [0,1] или, что тоже самое:

p=(1-)x+y (5)

Формулы (4) и (5) определяют отрезки плоскости, соединяющие точки x и y

Формулы (4) и (5) без всяких изменений переносятся на n-мерные пространство. Пусть в (4) и (5) x,yRⁿ – n-мерные вектора, тогда эти формулы описывают отрезки соеиняющие эти точки.

16Система S={x₁,x₂...x_n} где x_jRⁿ j=1,k наз линейнозависимой, а вектора этой системы линейно зависимыми если существует набор чисел ₁,₂,…_k одновременно не равных 0 такой что выполняется соотношение _j=1ⁿ_jx_j=0 (1)

В противном случае система S наз линейно независимой, а образующие её вектора линейно независимыми векторами. Левая часть соотношения (1) наз линейной комбинацией векторов системы S.

Система G={g₁,g₂...g_n} где g_jRⁿ наз базисом в пространстве Rⁿ? Если выполняются следущие условия:

1) Система G линейно независима

2) Любой вектор yRⁿ представим в виде линейной комбинации векторов системы G

y=_j=1ⁿy_jg_j (2)

Формула (2) наз разложением y по базису G. При этом коэффициент y_j в формуле (2) – это j-ые координаты вектора y в базисе G. Рассмотрим систему векторов {e₁,e₂,...e_n}. e_jRⁿ наз каноническим базисом n-мерного пространства:

e₁^T=(1,0...0)

e₂^T=(0,1,...0)

.....................

e_n-1^T=(0,0,...0,1,0)

e_n^T=(0,0,...0,1)

Определим декартову систему координат в n-мерном пространстве как систему состоящую из фиксированной точки начала координат и совокупности прямых описываемых точками с радиус-векторами ОX_j={e_j, (-;)}

OX_j – j-ая координатная ось по аналогии