40 Теорема Вайерштрасса

Пусть область ограничений Д, задачи f(x)→max(min) является не пустым и компактным множ-м,тогда непрерывная целевая функция f(x),заданная на этом множестве достигает глобального условного max-ма (min) на внутренней или граничной точки области Д.

31

→max(min) (1)

(2)

→max(min) (3)

(4)

м-д множ-й Лагранжа

в основе м-да лежит тот факт,что в т. усл-го экстремума D ,явл-ся решением задачи (1)-(2) или (3)-(4),градиент целевой ф-ии ▼,дб ортогонален касат-й гиперпл-ти к области огр-ий D в т. * (область D опр-ся множ-м решений системы огр-ий (2) или (4).

След-но ,д-ы сущ-ть такие числа -наз-ые множ-ми Лагранжа,для кот-х сп,раведливо :

▼

т.е. градиент ▼ представлен в виде линейной комбинации градиентов ф-ий огр-й задачи,кот-е в свою очередь ортогональны множ-м ур-ия :

30

→max(min) (1)

(2)

→max(min) (3)

(4)

33 Интерпретация множ-й Лагранжа

Анализируя знач-я множ-й Лагранжа м-о получить доп-ю ценную инф-ию о задаче. Во многом именно с этим связано широкое распр-е м-да множ-й Лагранжа. Множ-ли Лагранжа измеряют чувств-ть оптим-го знач-ия f*=f(*), к изм-ям const правой части огр-й .Что след-ет из т-мы

Т-ма Лагранжа

Пусть -решение задачи (1)-(2) или (3)-(4),а в-ра ▼,,…,,опр-е строки м-цы Якоби явл-ся линейно независ-ми,тогда сущ-ет единств-й в-р множ-й

Лагранжа сист-ы усл-й

▼

при этом = ,

35 Обобщ-й м-од множ-ей Лагранжа

Идея этого м-да сост-т в том,что если т. безусловного м-да целевой ф-ии не удовл-ет всем огр-ям задачи, то тогда решения задачи с огр-ми д-о достигаться в граничной т.области огр-ий =>одно или неск-ко огр-ий в , д-ы вып-ся как точные рав-ва (быть активными).

Описание м-да:

Ш 1 исходная задача реш-ся без учета огр-ий , . Если получ-е решение удовл-ет всем огр-ям , ,то задача решена. В противном сл-е след-ет положить к=1 и перейти к число 2

Ш 2 активиз-ся(преобр-ся в равенство) любые к-огран-ий исходной задачи. Решается задача поиска экстремума целевой ф-ии, при усл-ии к-активных ограничений-равенств. Если получ-е решение этой задачи удовл-ет всем огр-ям исходной,то получ-ся т. экстремума, явл-ся одним из допустимых решений исходной задачи; она запомин-ся,после чего актив-ся др-ие к-огран-ий исходной задачи и шаг 2 повтор-сяпока не будут рассм-ны и решены все задач связ-х с к-активными ограничениями-равенствами.

Ш 3 если к=m,выч-ия заканч-ся. Все запомненные на пред-х шагах реш-ия явл-ся допуст-ми реш-ми исходной задачи. Иначе след-ет положить: к=к+1 и перейти на шаг2.

Ш 4 все запомнен-е усл-ые локальные экст-мы сравнив-ся м/у собой по значению целевой ф-ии. Наилучший среди всех таких экстр-в явл-ся глобальным усл-ым экстремумом и оптимальным решением исходной задачи

37 Условия Куна-Таккера

Реш-ся задача →max (1), , (2)

Теорема К-Т

Необх-ми усл-ми сущ-ия стацин-й т. ф-ии Лагранжа задачи (1)-(2) ,явл-ся след-е усл-ия:

(3)

Эти усл-ия м.б. записаны в алгебраической форме:

(4)

Замечание 1

Из 1 и 3 усл-й К-Т след-ет,что либо множ-ль Лагранжа =0,либо соот-ие огр-ие-нер-во д-о вып-ся как строгое рав-во,либо то и др-е вып-ся одноврем-но

Достат-ть усл-ий Куна-Таккера (3)-(4) прим-мы также и к задачи min-ции :

→min

,

но вектор дб неположит-м

38

ф-ия наз-ся выпуклой (вогнутой) на множ-ве D, если справ-ва (1)