22. Понятие дифференцируемой функции, градиента функции, стационарной точки функции. Понятие матрицы Гессе

Говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке zRⁿ, если у неё в этой точке существуют все частные производные 1ого порядка:

df(z)/dx_j=lim_0f(z₁,z₂,…z_j+j…z_n)-f(z₁,z₂,…z_j…z_n)/j

Точка zRⁿ в которой равны 0 все частные производные 1ого порядка функции f(x) наз стационарной точкой этой функции

Квадратная матрица H(z)=(h_ij(z)) элементы которой определяются значениями частных производных II порядка функции f(x) в точке z, т.е. h_ij(z)=²f(z)/x_ix_j i,j=1,n наз матрицей Гессе функции f(x) в точке x

Градиентом f(x) функции f(x) наз вектор компоненты которго равны частным производным 1-ого порядка данной функции в точке x ^Tf(x)=(f(x)/x₁, f(x)/x_2,… f(x)/x_n)

23 Понятие положительной (отрицательной) определённости матрицы

Выражение G(B,x) = x^TBx=_i=1ⁿ_j=1ⁿb_ijx_ix_j, гдн B=(b_ij) – квадратная матрица n*n называется квадратичной формой матрицы B

Квадратная матрица B наз положительно (неотрицательно) определённой, если справедливо соотношение x0G(B,x)= _i=1ⁿ_j=1ⁿb_ijx_ix_j>()0 (12)

Квадратная матрица B наз отрицательно (не положительно) определённой, если неравенство в соотношении (12) противоположно.

34 Метод подстановки решения знлп с ограничениями-равенствами

Решается задача

f(x)max(min) (12)

g_j(x)=b_j, j=1,m (13)

Предположим, что система ограничений (13) представима в виде:

x_i=_i(x_m+1,x_m+2,…x_m+n), i=1,m (14)

подставляя выражение (14) на место аргументов x_i в целевую функцию f(x)=f(x₁,x₂,…x_n) имеем:

f(x)=f(₁(x_m+1,…x_n), ₂(x_m+1,…x_n),… _n(x_m+1,…x_n) x_m+1,x_m+2,…x_n)=F_n(x_m+1…x_n)max(min)

В итоге задача поиска экстремума функции f(x) с ограничениями (13) свелась к задаче поиска экстремума функции F_n(x_m+1…x_n) без ограничений. Эту задачу можно решить классическим методом и получить x^*_m+1,x^*_m+2,…x^*_n

Подстановка этих значений в (14) даёт искомое значение для x_i=_i(x^*_m+1,…x^*_n) Что решает эту задачу

24 Понятие вектор-функции и матрицы Якоби

ф-ия g(x) наз-ся m-мерной вектор-ф-ей,если множ-во ее значений принадлежит m-мерному векторному пространству,т.е. она представляет собой m-мерный вектор, компоненты кот-го- суть вещ-й ф-ии ,т.е.

g^T(x)=(g₁(x),g₂(x),…g_m(x))

М-цей Якоби Rg(x) m-мерной вектор-ф-ей g(x) наз-ся м-ца р-ра m×n, Эл-ты кот-й rij(x) опр-ся соот-ем:

r_ij(x)=g_i(x)/x_j i=1,m j=1,n

25 Производная по направлению. Теорема о производной по направлению. Теорема о градиенте.

ПустьURⁿ,произвольный вектор единичной длины,т.е. U=1

Производной ф-ии f(x) в т. y по напр-ию вектора U наз-ся предел:

f(y)/U=lim_t0f(y+tu)-f(y)/t

tR по сути f(y)/U – это скорость изменения функции f(x) в точке y по направлению вектора U

Т-ма о производной по напр-ю

Произв-я ф-ии f(x) в т. по напр-ю вектора U нах-ся по ф-ле:

f(y)/U=_j=1ⁿ(f(y)/x_j)*U_j=^Tf(y)*U (13)

26

Градиентом f(x) функции f(x) наз вектор компоненты которго равны частным производным 1-ого порядка данной функции в точке x ^Tf(x)=(f(x)/x₁, f(x)/x_2,… f(x)/x_n)

Т-ма о градиенте

Градиент f(y)ф-ии f(x) в т. y указывает напр-е наискорейшего роста ф-ии f(x) в т.y;при этом мах-я скорость роста= модулю градиента UR

Max f(y)/U=f(y)

Док-во: Пусть  - угол между векторами f(y) и U т.к. скалярное произведение этих векторов

(f(y),U)=f(y)*U*cos, а U- единичный вектор, тогда из формулы 13 вытекает

f(y)/U=f(y)cos  (14)

Из этого равенства следует, что производная по направлению принимает наибольшее значение при cos  равном 1, т.е. когда векторы f(y) и U имеют одинаковое направление. ЧТД.