2.4.6.Разложение движения плоской фигуры в ее плоскости на поступательное и вращательное. Уравнения движения.

Рpис. 2.

Пусть положение некоторой плоской фигуры, движущейся в своей плоскости в момент t, определяется отрезком АВ (рис. 2.11, рассматривае­мая плоская фигура на рисунке не показана), который в момент t_l = t + Δt занимает положение A ₁B₁. Легко убедиться в том, что отрезок АВ, а вместе с ним и рассматриваемую плоскую фигуру, можно переместить из первого положения во второе поступательно вместе с некоторой точкой, называе­мой полюсом, например, с точкой А, и поворотом в плоскости фигуры во­круг полюса. В самом деле, если переместить фигуру в ее плоскости по­ступательно так, чтобы точка А совместилась с точкой А,, то отрезок АВ займет положение А₁ В' // АВ. При этом любая точка фигуры получит бес­конечно малое перемещение, равное вектору АА₁ После этого достаточно повернуть фигуру в ее плоскости вокруг полюса А/ на бесконечно малый угол Δφ = B ₁A_iB_i в направлении, показанном стрелкой, чтобы она заняла положение, определяемое отрезком A₁ B₁ Нетрудно понять, что такое фик­тивное перемещение фигуры не тождественно действительному ее движе­нию в ее плоскости, однако в моменты t и t = t + Δt положения фигуры в ее действительном движении и при описанном фиктивном перемещении совпадают. Очевидно, чем меньше промежуток времени Δt, тем больше рассматриваемое фиктивное перемещение фигуры приближается к дейст­вительному ее движению и в пределе при Δt---- 0 они совпадают. В этом случае поступательное и вращательное перемещения фигуры происходят одновременно. Таким образом, движение плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как составное из поступательного движения вместе с полюсом и вращательного вокруг полюса в плоскости фигуры. Принимая за полюс различные точки фигуры, можно различным образом разложить ее движение на поступательное и вращательное.

Положение отрезка АВ и, следовательно, неизменно связанной с ним плоской фигуры, относительно некоторой системы отсчета хОу (рис. 2.11) определяется тремя параметрами: двумя декартовыми координатами х, у_А полюса А и угловой координатой φ Все эти три параметра при движении фигуры, в общем случае, изменяются с течением времени, т. е. являются функциями времени t

x _a=f ₁(t)

y_a=f₂(t) (2-26)

φ=f ₃(t)

Уравнения такого вида опре­деляют движение плоской фигуры в ее плоскости, и называются урав­нениями плоского движения твер­дого тела. Первые два из них оп­ределяют поступательную часть движения плоской фигуры, а третье - вращательную. Функции (2.26) должны быть непрерывными, одно­значными и, по крайней мере, два­жды дифференцируемыми.

Легко показать, что поступательная часть движения плоской фигуры зависит от положения полюса на этой фигуре, а вращательная часть - не зависит. В самом деле, если принять за полюс точку В (рис. 2.11), то при поступательном перемещении вместе с этим полюсом фигура займет по­ложение, определяемое отрезком В₁ А'// АВ. При этом любая точка фигуры получит бесконечно малое перемещение ВВ₁ * АА₁. Следовательно, при изменении положения полюса изменяется поступательная часть движения фигуры. Теперь для совмещения отрезка В₁ А' с отрезком В₁ А₁ его следует повернуть вокруг нового полюса В₁ на угол Δφ = А_ХВ_ХА' в том же направ­лении, в котором надо было повернуть вокруг точки А₁ отрезок А ₁ В 'до со­вмещения его с тем же отрезком А/В/, т. е. по ходу стрелки часов. Углы же Δφ и Δφ ₁ равны между собой как углы внутренние накрест лежащие при параллельных прямых. Таким образом, вращательная часть движения пло­ской фигуры не зависит от положения полюса и, следовательно, третье уравнение системы (2.26) будет оставаться неизменным, если мы за полюс будем принимать различные точки фигуры. Отсюда следует. что первая и вторая производные угловой координаты φ т. е. угловая скорость и угло­вое ускорение фигуры, также не зависит от положения полюса.