3.8. Потенциальная и кинетическая энергия

Механической энергией называется энергия перемещения и взаи­модействия тел. Она бывает двух видов: потенциальная или энергия положе­ния, и кинетическая, или энергия движения.

Потенциальной энергией силы тяжести материальной точки или тела называется способность тела или точки совершать работу при опуска­нии с некоторой высоты до нулевого уровня (уровня моря). Она численно равна работе силы тяжести, произведенной при перемещении с нулевого уровня в данное положение.

Потенциальная энергия П определяется по фор­муле:

П=G/ Н

где G-сила тяжести тела или точки;

Н- высота центра тяжести тела.

Потенциальная энергия измеряется в единицах работы.

Кинетической энергией называется энергия, которой обладает всякая материальная точка при движении. Она равна половине произведения массы точки на квадрат ее скорости и обозначается буквой Е, т.е.

E= mV² / 2

Кинетическая энергия - величина скалярная и всегда имеет положи­тельное значение.

Единица измерения кинетической энергии: Дж. , т .e. имеет размерность работы.

Поскольку твердое тело или механическая система представляет собой п-ое количество материальных точек, поэтому кинетическую энергию твер­дого тела можно представить как сумму кинетических энергий всех точек этого тела или системы, т.е. Е =Σ mV² / 2

При поступательном движении твердого тела кинетическая энергия определяется по формуле: Е =Σ mV ² / 2 = V ² / 2 Σ т= МV ² / 2

где V_c - скорость центра тяжести тела или любой точки тела;

М- масса всего твердого тела.

Таким образом, кинетическая энергия поступательно двигающегося тела равна половине произведения массы всего тела на квадрат скорости любой точки этого тела.

При вращательном движении, когда скорость произвольной точки тела пропорциональна расстоянию от оси вращения до точки, т.е. V₁, = ω r кине­тическая энергия будет равна: Е =Σ mV ² / 2 = Σ m(ω r) ² / 2 = ω ²/ 2 [ Σ m r²]

Величина [Σ m r²] называется моментом инерции массы тела относи­тельно оси и обозначается буквой I.

Единица измерения момента инерции: кг*м²

Момент инерции массы тела относительно оси есть сумма произве­дений масс материальных точек, составляющих это тело, на квадрат их расстояний до этой оси.

Следовательно, кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения квадрата угловой скорости на момент инерции массы тела относительно оси его вращения, т.е. Е = I ω² / 2

При плоскопараллельном движении твердое тело совершает сложное движение: поступательное вместе с полюсом (полюс - это точка, вокруг ко­торой происходит относительное вращательное движение) и вращательное вокруг полюса. В этом случае кинетическая энергия твердого тела при плоскопараллельном движении равна сумме кинетических энергий в поступательном движении вместе с центром тяжести и вращательном движении во­круг центральной оси перпендикулярной основной плоскости, т.е. Е = (т V ² / 2) + (I ω² / 2)

3.10. Закон изменения кинетической энергии

Известно, что в случае действия на материальную точку массой т постоянной силы Р, она имеет постоянное ускорение а = P /m и ее движение бу­дет равноускоренным.

Если направление движения совпадает с направлением силы Р (см. рис. 41), точка переместится из положения С₁ в положение С₂. Тогда ускорение на пути S за время t будет

а= V ₁ - V₂ / t

Перемещение S за этот же промежуток времени можно записать так:

S = V ₂ + V₁ t / 2

Работа силы Р в этом случае будет иметь вид:

A =P * S= P V ₂ + V₁ t / 2

Выражая силу Р через основной закон динамики Р = та и подставляя в выражение работы значение ускорения а, получим

A =mas = m (V₂ -V₁ ) / t * ( V₂+V₁ ) / 2 = m (V₂ ²-V₁ ) ² /2 = (mV₂ ² )/ 2 – ( mV₁ ²) / 2

A =( m V₂ ² )/2 - (mV₁ ² ) / 2

Это уравнение показывает, что изменение кинетической энергии мате­риальной точки на некотором пути равно работе силы, приложенной на том же пути.

Для твердого тела, состоящего из системы материальных точек, закон изменения кинетической энергии примет аналогичный вид: E₂ – E₁ = ΣA₁

следовательно, изменение кинетической энергии твердого тела равно сумме работ сил, действующих на это тело.