3.4. Мощность

Работа, совершаемая какой-либо силой, может быть осуществлена за различные промежутки времени. Для характеристики быстроты совершения работы существует понятие мощности.

Мощностью называется работа, совершаемая в единицу времени.

За элементарный промежуток времени Δt средняя мощность определя­ется по формуле

N =_ Δ A / Δt_PΔScosa / Δt

Истинная мощность находится переходом средней скорости к пределу, т.е. выражение Pcosa является проекцией силы Р на направление иия точки. Обозначив Pcosa через P_v, т.е. Р_у = Pcosa, получим

N = P_V ΔS / Δt = PΔS cos a / Δ t

Поскольку Δ S / Δ t представляет собой скорость V, в окончательном виде мощность будет иметь вид N = P_V V.

Мощность силы равна произведению модуля силы на скорость точки ее приложения.

Единица измерения мощности:

работа / время = джоуль в секунду = ватт (Вт).

Пример 11. По горизонтальному участку лесовозной дороги равно­мерно движется лесовоз с лесом общей массой т = 30 т. Определить мощ­ность, развиваемую двигателем F_c = 320 Н на 1 т массы при скорости движе­ния лесовоза V= 40 км/ч.

Решение. 1. Общее сопротивление лесовоза составляет Р = F_c m = 320 * 30 = 9600H= 9.6 кH

2. Мощность, развиваемая двигателем лесовоза, будет

N = Р ■ V = 9600 * 11. 1= 106560 вт = 106,6 кВт.

3.5. Работа и мощность при вращательном движении Работа.

Вращательное движение обеспечивается приложенным к телу вращательным моментом относительно оси, который создается парой сил Р',Р (рис. 38) и определяется по формуле М = РД / 2

При повороте тела на угол ср, работа А совершается силой Р, переме­щенной из точки С₁ в точку С₂ Полное перемещение точки приложения силы S равно длине дуги радиусом R, т.е. S= Rφ

Поскольку сила Р всегда направлена по касательной к перемещению S, то совершаемая работа будет Сила Р', приложенная в неподвижной точке О работы не совершает.

Учитывая, что М = РД / 2 окончательно находим А = Мφ

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угол поворота.

Пример 7. Определить силу, действующую на тело массой т = 1,5 кг, движение которого выражается уравнениями: х = Δt; у = 2 + t - 6г² (х и у - в сантиметрах, t - в секундах).

Решение. Задано движение тела, поэтому данный пример относится к первой задаче динамики.

1. Определяем проекции ускорения на координатные оси:

a_x= d ²x / dt² = d ² (Δt) / dt²= 0

a _y= d ²y / dt² = d ² (2 +t -- 6t ²) / dt²= - 0.12 м / с ²

2. Подставляя эти значения в уравнения движения материальной точки, получим проекции сил Р_х и Р_у, т.е.

Р_х = т а _х = 0; Р_у = т а _у =1.5 (- 0.12)= - 0.18 кг*м / с ² =- 0.18 Н.

3. Модуль силы Р равен: Р = √Р,² + Р_у² = √0 + (- 0,18)² = 0,18 Н.

4. По проекциям видно, что она параллельна оси у (так как х = 0) и на­правлена в сторону, противоположную оси у (так как сила Р_у отрицательна).

Пример 8. На материальную точку массой т = 10Н, лежащую на глад­кой горизонтальной поверхности, действует горизонтальная сила Р = 20 Н. Определить скорость движения точки через время t — 10 с, если точка начала двигаться из состояния покоя.

Решение. Так как заданы силы, пример относится ко второй задаче ди­намики.

1. Так как точка лежит на гладкой горизонтальной поверхности, то под действием силы Р точка будет двигаться равноускоренно. Направив ось х вдоль траектории точки, запишем уравнение движения и найдем ускорение:

Р_х = та_х = та, откуда а = Р_{х /}/ т = Р / т =20 / 10 = 2 Н.

2. При равноускоренном движении скорость будет

V = V₀+at = 0 + 2*10 = 20 м/с.

Пример 9. В поднимающейся кабине лифта взвешивается тело на пру­жинных весах. Сила тяжести тела G - 150 Н, натяжение пружины весов, рав­ное весу тела, R= 165 Н.

Определить ускорение кабины.

Решение. 1. Применяя к телу принцип освобождаемости, пружинные весы заменим реакцией R, равной натяжению пружины.

2. Применяя метод кинетостатики, приложим к телу силу инерции Р_и

3. Составим уравнение равновесия взвешиваемого тела, проектируя все силы на ось у, предполагая, что ускорение кабины а направлено вверх и, следовательно, сила инерции направлена вниз, т.е.

ΣP _ix = 0 . R-G-P_u = 0

4. Определяем модуль силы инерции по формуле:

Р_И =т-а = G а / g.

5. Подставив это выражение в уравнение равновесия, определяем уско­рение.

а = g (R - G) / G= 9.81(165-150) / 150= 0.981 m /c ²

6. Так как ускорение получилось положительным, как и предполага­лось, оно направлено вверх.

Пример 10. Груз силой тяжести G = 25 Н подвешен на нити длиной / = 0,7 м в неподвижной точке О. Нить отклонена от вертикали на угол а = 50° и описывает окружность в горизонтальной плоскости. Опреде­лить скорость груза V и натяжение нити R.

Решение.1.Поскольку отклонение нити составляет постоянную вели­чину, то скорость груза постоянна, поэтому касательное ускорение а, = 0 и касательная сила инерции Р'_И = 0.

2. Применяя принцип Даламбера, приложим к грузу силу инерции Р_u, реакцию нити R и составим уравнение равновесия относительно выбранных осей х и у , т.е.

Σ P_ix= 0 -R sin a + Р"_и =0

Σ P_iy= 0 R= cos a – G = 0

3. Сила инерции запишется в следующем виде:

Р"_и= ma_n = G V ² /gr =

G V ² /gl sin a

4. Из второго уравнения равновесия находим натяжение нити

R= - G / cos a = 25 / 0.643 = 38,8 Н.

5. Подставляем выражение R в первое уравнение равновесия

- G sin a / cos a + G V ² /gl sin a = 0

откуда находим скорость груза V

V=√ gl sin a / cos a =√ [9.81 * 0.7 *(0.766)² / 0.643 = 25 м/с.

Работа силы на криволинейном участке пути. На криволинейном участке пользуются понятием элементарной работы на элементарном участке пути AS (рис. 36), который можно считать прямолинейным, т.е.

ΔA = PΔScos(P,S) или ΔA = PΔScos(P,V),

где V - скорость точки, совпадающая по направлению с элементарным перемещением.

Работа на конечном отрезке пути С₁С₂ равна сумме элементарных работ: А = Σ PΔScos(P,V),

Данную формулу можно использовать для определения работы силы тяжести. Пусть некоторая точка, имеющая силу тяжести G, переместилась по криволинейной траектории из точки С₁ в точку С₂, опустившись на некоторую высоту Н. (рис. 37).

Выражение AScos(Gy) = Ay представляет собой проекцию элементарного участка пути AS на ' направление силы тяжести G, т.е.

ΔScos(G,V) = Δy.

Элементарная работа силы тяжести G на пути AS равна ΔA = GΔScos(G,V).

Рис.37

Тогда полная работа, равная сумме элементарных работ будет равна А =Σ GΔу

Так как сила тяжести G есть величина постоянная и учитывая, что сумма элементарных участков по оси у равна полной высоте перемещения тела ΣΔу= Н получаем

А = GΣΔу = GH, т.е. А = GH.

Таким образом, работа силы тяжести тела равна произведению его силы тяжести на вертикальное перемещение ее точки приложения. Из формулы видно, что работа силы тяжести тела не зависит от траектории пе­ремещения его центра тяжести