Тема 2. Кинематика.

Содержание темы: Основные понятия и определения кинематики. Основные кине­матические способы движения точки. Частные случаи движения точки. Поступательное и вращательное движения твердого тела.

Кинематика - часть теоретической механики, в которой изучаются механические движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил движения. Кинематика основана на геометрических представле­ниях.

Кинематика изучает движение различных объектов с геометриче­ской точки зрения, т.е. независимо от сил, его вызывающих. В кинематике нас будет интересовать лишь сам факт движения и его характер: траекто­рии отдельных точек объекта, их перемещения в зависимости от времени, их скорости и ускорения, а также зависимости между параметрами движе­ния. С этой точки зрения кинематика является геометрией четырех изме­рений, где четверым измерением является время. Статика и кинематика представляют независимые друг от друга разделы геометрической механи­ки.

В задачи кинематики входит:

а) определение законов движения рас­сматриваемого объекта,

б) определение кинематических параметров (ско­ростей, ускорений) точек этого объекта,

в) определение кинематических параметров (угловой скорости, углового ускорения) твердого тела.

Простейшим геометрическим объектом является геометрическая точка.

Для изучения движения того или иного объекта, надо уметь опреде­лять его положение относительно некоторого движущего тела, называемо­го телом отсчета (рис. 2.1).

Рис. 2.1

С этим телом неизменно связывается какая-либо координатная сис­тема O x y z, которая называется системой отсчета. При исследовании дви­жения объекта система отсчета условно считается неподвижной, хотя она и движется вместе с телом отсчета. Поскольку движение всякого объекта происходит во времени, то для изучения движения этого объекта необхо­димо вести отсчет времени. За начало отсчета времени принимается неко­торый начальный момент, для которого время считается равным нулю (t-= О). Всякий данный момент времени (момент t ) определяется числом се­кунд, прошедших от начального момента до данного. Момент времени считается положительным, если он следует за начальным моментом, и от­рицательным, если он предшествует начальному. Число секунд, отделяю­щих два последовательных момента времени t ₁ и t₂, называется промежут­ком времени

Δt = t₂ – t₁).

Механическое движение происходит в пространстве и во времени. Пространство рассматривается как трехмерное; все свойства его подчиняют­ся системе аксиом и теорем эвклидовой геометрии. Время полагают ни с чем не связанным и протекающим равномерно. Однако современное развитие физики привело к иным представлениям о пространстве и времени. Это дока­зал великий ученый XX века Альберт Эйнштейн, создав теорию относитель­ности, суть которой заключается в том, что пространство и время зависят от скорости движения. Эта зависимость практически не обнаруживается при сравнительно малых скоростях движения и установленные в механике пред­ставления о пространстве и времени сохраняют силу. Но при скоростях, близких к скорости света, которая считается в вакууме постоянной (300000 км/с), представления являются неточными. При измерении времени различают промежуток или отрезок времени и начальный момент времени. Промежуток времени - это время, проте­кающее между двумя фиксированными событиями. Начальным момен­том называется время, с которого начинается отсчет.

Траекторией точки называется кривая, которую описывает точка при движении в пространстве относительно выбранной системы отсчета. Траектория бывает прямолинейная и криволинейная. Движение точки в пространстве определяется скоростью, характеризующей быстроту и направление движения точки в данный момент времени.

В зависимости от скорости движение точки может быть равномерным, когда скорость постоянная по величине и направлению, и неравном

Cкорость и ускорение точки являются векторными величинами.

При изучении движения точки различают два понятия: расстояние и пройденный путь. Расстояние определяет положение точки на ее траекто­рии и отсчитывается от некоторого начала отсчета. Оно является алгебраической величиной, так как в зависимости от положения точки относительно начала отсчета и принятого направления оси расстояний оно может быть положительным и отрицательным.

Пройденный путь всегда определяется положительным числом.

В общем случае движение точки может начинаться из некоторого произвольного положения на траектории. В связи с этим для определения исходного положения точки вводится понятие начального расстояния. При движении точки в одном направлении расстояние и путь могут отличаться только на какую-то постоянную величину, равную начальному расстоянию, S_p =S + S₀,

Где S_p - расстояние точки от начала отсчета;

S - пройденный путь;

So- начальное расстояние.

Начальное расстояние может быть выражено как положительной, так и отрицательной величиной.

2.1. Переменный вектор и его годограф

Пусть некоторый вектор А с течением времени изменяет, в общем случае, как свою величину, так и направление. Такой вектор на­зывается переменным. Говорят, что он является векторной функцией вре­мени. Математически это записывается следующим образом: A =f(t). (2.1)

Функция f(t). называется векторной функцией времени.

В частных случаях вектор А может изменять только свою величину, только направление или сохранять неизменными как величину, так и на­правление. В последнем случае он называется постоянным вектором. Это записывается так: А = const. (2.2)

Пусть переменный вектор А (рис. 2.2), начало которого ос­тается в неизменной точке О, а конец занимает в данный момент t некото­рое положение В. Допустим, что в последовательные моменты времени t.₁ t_2i t_s t₄, ... этот вектор принимает значения А₁. А₂, А₃, А₄, ..., а конец его занимает соответст­венно положения В₁, В₂, Вз, В₄, ...

Линия В В,В₂В₃В₄..., описываемая концом переменного вектора при неизменном его начале О, называ­ется годографом этого вектора.

Понятно, что если вектор изменяет только свое направле­ние, оставаясь в одной и той же плоскости, то его годографом является окружность.

Если же вектор изменяет только величину, то его годограф представляет прямую, по которой он направлен.