ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

При малых перепадах давления скорость выноса микрозародышей газа превосходит скорость их воспроизводства, поэтому концентрация микрозародышей равна нулю. Увеличение перепада давления приводит к тому, что в пористой среде накапливаются микрозародыши, забивающие наиболее узкие места поровых каналов, что приводит к уменьшению рас- хода. Напомним, что рассматривается область давлений, в которой прони- цаемость уменьшается с увеличением числа зародышей. При этом состоя- ния с однородным по пространству распределением микрозародышей ста- новятся неустойчивыми, происходит самопроизвольное разбиение на «до- мены» с различающимися значениями концентрации микрозародышей. Дальнейшее увеличение перепада давления приводит к возникновению ав- токолебаний, которые, по сценарию М. Фейгенбаума, переходят в динами- ческий хаос.

Теоретические результаты, полученные выше, подтверждаются экс- периментами, проведенными к.т.н. Г. Х. Меликовым (Азербайджанская гос. нефтяная академия), который исследовал колебания расхода жидко- сти Q, возникающие при фильтрации трансформаторного масла с растворенным в нем природным газом в предпереходных условиях. Для примера на рис. 4.25 приведена кривая Q = Q(t), полученная при значениях давления на входе и выходе модели пласта, равных 7 и 4,5 МПа (давление насыщения Рн = 3,7 МПа). Отметим качественную схожесть этой кривой с расчетной кривой, показанной на рис. 4.24.

Q

0,48

0,32

0,16

Рис. 5.24. Зависимость расхода жидкости от времени при A = 3,9

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Библиографический список к главе 4

1.Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация. – М.: Мир, 1974. – 687 с.

2.Перник А. Д. Проблемы кавитации. – Л.: Судостроение, 1966. – 439 с.

3.Сиротюк М. Г. Стабилизация газовых пузырьков в воде // Акустиче-

ский журнал. – 1970. – Т. 16, № 4. – С. 567–569.

4.Буевич Ю. А. О докритическом образовании зародышей в жидкостях с поверхностно-активным веществом (ПАВ) // ИФЖ. – 1987. – Т. 52,

№3. – С. 394–401.

5.Нематулаев У., Белинский Б. А. Установка для одновременного измере- ния акустических параметров и сдвиговой вязкости в широком интерва- ле температур и давлений // Ультразвуковая техника: Научно.-техн.

реф. сб. – 1966. – № 5. – С. 8–13.

6.Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. – Л.: Наука, 1975. – 592 с.

7.Исакович М. А. Общая акустика. – М.: Наука, 1973. – 495 с.

8.Фокеев В. М. Определение давления насыщения углекислоты в воде // Изв. вузов. Сер. Геология и разведка. – 1959. – № 6. – С. 87–89.

9.Болотов А. А., Белинский Б. А. О двух методах определения давления насыщения газожидкостных систем в пористой среде / Тр. ВНИИ. – М.:

ВНИИ, 1970. – № 37. – С. 71–75.

10.Савинихина А. В. Применение ультразвуковых колебаний для определе- ния давления насыщения пластовых жидкостей / Тр. ВНИИ. – М.:

ВНИИ, 1958. – № 15. – С. 137–145.

11.Тривус Н. А., Виноградов К. В. Исследование нефти и газа в пластовых условиях. – Баку: Азнефтеиздат, 1955. – 288 с.

12.Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы. – М.:

Наука, 1978. – 336 с.

13.Петрушевский Е. И., Разамат М. С. О влиянии неравновесности на

процесс выделения конденсата из газа // Изв. вузов. Сер. Нефть и газ. – 1963. – № 11 – С. 61–66.

14.Столин А. М., Худяев С. И. Образование пространственно неоднород- ных состояний структурированной жидкости при сверханомалии вязко-

сти // Докл. АН СССР. – 1981. – Т. 260, № 5. – С. 1180–1184.

15.Джумгазиева С. Х. Численное исследование одного уравнения с част- ными производными // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1982. – Т. 23, № 4. – С. 839–847.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Глава 5 МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Ученый обладает огромным опытом сосуществования с неведением, сомнением и неопределенностью, и, по-моему, этот опыт имеет очень важное значение… Мы, ученые, к этому привыкли

и считаем само собой разумеющимся, что быть неуверенным в чем-то абсолютно нормально, что вполне возможно жить и не знать.

Р. Фейнман

Занимаясь моделированием реальных технологических процессов, исследователь обнаруживает, что оказался в мире неопределенности, свя- занной с недостаточностью информации, зашумленностью данных, неус- тойчивостью решений и нечеткостью постановок задач. (Недостаток ин- формации мы понимаем расширенно, относя к этому и недостаток глубины понимания – неразвитость интуиции.) Для преодоления этих трудностей современная прикладная математика разработала ряд эффективных мето- дов моделирования и принятия решений, применение которых требует из- вестной изобретательности, поскольку формализовать эти методы до конца не удается: слишком сложны изучаемые объекты.

Некоторые из таких методов авторы применяют в своей работе и описывают ниже. При этом они не пытаются сформулировать какие-то строгие правила и алгоритмы: моделирование сложных систем – не только наука, но и искусство. Аналогичным образом поступают музыканты, про- водя мастер-классы: часто они просто играют различные музыкальные от- рывки, давая некоторые разъяснения. Да и при изучении наук, как отмечал И. Ньютон, примеры полезнее правил.

Мы хотели бы, кроме всего прочего, обратить внимание на важность «быстрых», аналитических расчетов. К сожалению, многие сейчас считают такие методы изжившими себя, полагаясь на численные расчеты с помо- щью ЭВМ как на панацею от всех бед. Однако, по нашему убеждению, «быстрые» оценки являются необходимым этапом постановки математи- ческих задач и выбора методов их решения. Только после тщательного изучения задачи с помощью аналитических методов можно обратиться к компьютеру, но и тогда его нужно постоянно «вести за руку».

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Основой смелости и безошибочности поведения в повседневной жизни человека являются опыт и интуиция. Аналог этих понятий вводится с помощью термина «априорная информация». Говоря, что метод основан на привлечении априорной информации, мы просто хотим подчеркнуть, что опыт и интуиция нужны не только на этапе решения математических задач, но и на этапе их постановки. Многие задачи без привлечения апри- орной информации не могут быть решены; при ближайшем рассмотрении оказывается, что они попросту неправильно (некорректно) поставлены. И исправить ситуацию можно только за счет привлечения дополнительной информации априорного характера (см. по этому поводу также гл. 2).

Использование априорной информации часто приводит к результа- там, которые, на первый взгляд, кажутся невозможными: «ниоткуда» появ- ляются новые данные, неустойчивые алгоритмы становятся устойчивыми, ненадежные решения – надежными.

Из приведенных ниже примеров будет видно, что априорная инфор- мация может быть привнесена в задачу самыми различными способами. Так, при анализе случайных величин огромную пользу может оказать ап- риорная информация о виде функции распределения. Наиболее полно эти сведения используются в рамках теории порядковых статистик.

5.1. Безэталонное измерение и идентификация с помощью порядковых статистик

Знанию всегда предшествует предположение.

В. Гумбольт

были ранжированы по величине, т. е. расположены в ряд по возрастанию.

Полученную при этом упорядоченную выборку обозначим (x(1), x(2), ..., x(n) ). Про величину, стоящую на r -м месте в этой выборке,

говорят, что она имеет ранг r . Из генеральной совокупности X можно об-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

разовать множество таких упорядоченных выборок. Разумеется, элементы, имеющие один и тот же ранг r , в разных выборках будут разными. Иначе говоря, они являются реализациями некоторой случайной величины, кото- рую мы будем обозначать X(r) . Ранжированная выборка, таким образом,

с рангом r в выборках объема n ) называется r -й порядковой статисти- кой, а раздел статистики, изучающей свойства упорядоченных выборок, называется теорией порядковых статистик [1–3].

Для примера, представим себе генеральную совокупность в виде ку- чи щебня, состоящей из камней, вес которых распределен случайным об- разом [1]. Выбрав наудачу n камней, отранжируем их с помощью рычаж-

ных весов. Обратим внимание на то, что в данном случае весы нужны только как компаратор (от англ. compare – «сравнивать») – устройство для

попарного сравнения значений случайной величины, – поэтому гири не нужны.

Предположим, что после упорядочивания выборки камни расклады- ваются в n ящиков, на которых написаны цифры, обозначающие соответ- ствующие ранги. Многократно повторив эту процедуру, мы можем при- ступить к статистическому анализу каждого ящика. Если исходная куча щебня велика (в пределе – бесконечно велика), то отбор любого количест- ва камней не изменяет статистические характеристики кучи щебня в це- лом. Тогда веса камней, содержащихся в каждом ящике, будут случайны- ми величинами, математическое ожидание и дисперсия которых могут быть определены исходя из функции распределения генеральной совокуп- ности.

Так, если веса камней в куче щебня распределены равномерно, т. е.

( a и b – веса самого маленького и самого большого камня в куче), то сред- ние и дисперсии порядковых статистик определяются выражениями [1]

Будем характеризовать отклонение случайных реализаций порядко-

вой статистики X(r) от среднего Er величиной ε r = ( σ r ) . Из (5.1) следу- b − a

ет, что с увеличением объема выборок значение ε r уменьшается асимпто-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

видим, даже при сравнительно небольших объемах выборок отклонение порядковых статистик от их средних значений мало. Так, при n = 23 веса

камней в ящике № 23 в среднем всего лишь на 4% отличаются от средне- го E23 .

5.1.1. Безэталонное измерение («взвешивание без гирь»)

Итак, мы показали, что при достаточно больших объемах выборок «разброс» случайных реализаций порядковых статистик мал. Примени- тельно к примеру с кучей щебня это означает, что веса камней, находя- щихся в r -м ящике, мало отличаются друг от друга и от математического ожидания Er . Отсюда следует поразительный вывод [1]: оказывается, мы можем определить веса камней, не имея гирь! Нужно только, чтобы мы знали функцию распределения камней по весам и имели компаратор (на- пример, рычажные весы), с помощью которого камни могут быть отран- жированы. После этого в качестве оценки веса камня, занявшего r -е место в ряду, можно принять заранее вычисленное значение математического ожидания r -й порядковой статистики Er . При этом допускается ошиб-

ка x(r) − Er , относительная величина которой может быть сколь угодно

малой. Так, для равномерного распределения при n = 1000 относительная ошибка такой оценки не превышает 2% даже в середине выборки.

Если весов нет, то довольно точное ранжирование может произвести человек, сравнивая камни, находящиеся в двух его руках (это делает полу- ченный результат еще более удивительным).

Обращаясь к практике нефтегазодобычи, отметим, что некоторые опытные цеховые работники могут оценить дебит скважины без всяких замеров, просто приложив руки к выкидной арматуре. Очевидно, что при этом они, сами того не подозревая, подсознательно применяют алгоритмы порядковых статистик. Роль компаратора в данном случае вновь исполняет человек, ориентируясь на гул, создаваемый многофазным потоком, и тем- пературу труб. Неявным образом используются также сведения о возмож- ных пределах изменения и виде закона распределения дебита.

Таким образом, пользуясь свойствами порядковых статистик, можно получить количественные оценки (иногда сколь угодно точные), не имея эталона (безэталонное измерение).

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

εr

n = 7

0,15

n = 14

n = 23

0,10

0,05

Рис. 5.1. Зависимость относительного отклонения порядковых статистик от ранга

Нетрудно видеть, что секрет успеха – в априорной информации, а именно в информации о законе распределения генеральной совокупности. Без знания функции распределения, конечно, ничего подобного сделать нельзя.

Мощным источником дополнительной информации является также операция ранжирования. Это можно показать количественно, оценив из- менение энтропии в ходе упорядочивания. Поскольку число различных реализаций выборки равно n! и все реализации равновероятны, то энтро- пия выборки до ранжирования равна [1]

H= − ln 1 = ln n!.

n!

Упорядоченная же выборка может быть реализована только одним способом, т. е. ее энтропия равна нулю. Как известно, уменьшение энтро- пии является мерой информации, поступившей в систему. Следовательно,

процесс ранжирования приводит к «накачке» выборки информацией в объ- еме ln n!.

Знание законов распределения немногое может дать наблюдателю, снабженному измерительным прибором: с его помощью можно лишь не- сколько улучшить измерительную процедуру. Как мы видим, качественно иная ситуация возникает, когда измерительного прибора нет. В этом слу- чае знание закона распределения позволяет восстановить отсутствующую информацию. В первом приближении в качестве оценки любого значения величины X можно выбрать среднее по генеральной выборке E(X ), но

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

эта оценка слишком грубая. Если же имеется компаратор, то можно орга- низовать достаточно точное измерение с помощью упорядоченных выбо- рок большого объема. В этом случае n величин «помогают» друг другу «измерить» самих себя.

5.1.2. Практическая реализация расчетов

При практическом применении описанных выше алгоритмов необ- ходимо решить задачу определения математических ожиданий порядковых статистик Er (r = 1, 2, ..., n) при известной функции распределения. Для этого можно воспользоваться готовыми статистическими таблицами, в которых приведены значения Er при разных значениях n для ряда наиболее часто встречающихся функций распределения. Отметим, что эти таблицы составлены для нормированных распределений (равномерного распределения с a = 0 , b = 1, нормального закона с E = 0 , σ = 1 и т. д.). Поэтому при их применении необходимо осуществить преобразование к нормированным случайным величинам:

~ = x − a x

b − a

где Φ(z) ≡ F −1(z).

Часто информация о законе распределения случайной величины яв- ляется неполной – мы знаем вид функции распределения, но не знаем зна- чений параметров этой функции (например, математического ожидания и дисперсии). В этой ситуации оказывается необходимым все же сделать не- сколько прямых замеров с помощью эталонов.

Пусть, например, известно, что величина x распределена по некото- рому двухпараметрическому закону, значения параметров которого одно-

значно связаны с математическим ожиданием E и дисперсией σ 2 . Пред-

положим также, что в нашем распоряжении имеются таблицы математиче-

~

ских ожиданий порядковых статистик Еr , составленные для нормализо-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

286 Глава 5

ванной функции распределения заданного вида (т. е. для функции с E = 0

Для определения неизвестных значений E и σ необходимо напря- мую измерить значения двух реализаций величины X . Если в выборке объемом n эти измеряемые значения имеют ранги r1 и r2 , то E и σ могут быть найдены из условий

Решив (5.4) относительно E и σ , можно оценить и значения осталь-

ных элементов упорядоченной выборки:

= + σ ~ ( = ≠ ) x(r) E Er r 1, 2,...; n, i r1, r2 .

Надежность оценок E и σ может быть повышена, если удается сде- лать более чем два прямых замера. При этом мы имеем переопределенную

которую необходимо решать методом наименьших квадратов.

Описанная процедура оценок полезна в тех случаях, когда измерения с помощью эталонов можно организовать только для некоторых членов выборки или когда замеры слишком дороги. Так, вновь возвращаясь к за- даче об измерении веса камней, предположим, что мы знаем: они распре- делены по равномерному закону, но параметры распределения a и b неиз- вестны. Гирь у нас нет, но они есть у меркантильного соседа, который за каждый замер с помощью его гирь требует 100 долларов. Для прямого из- мерения веса 1000 камней нам понадобилось бы 100 тысяч долларов. Если же привлечь алгоритмы порядковых статистик, то можно ограничиться