ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Следует отметить, что в этом примере мы вышли за рамки первона- чального определения Паде-аппроксимации, использовав дробные степе- ни ε .

5.2.2. Характеристики многофазных систем

Основные трудности моделирования движения многофазных систем связаны с заданием реологических и теплофизических свойств. В [8] пока- зано, что Паде-аппроксимации эффективны при решении и таких задач. Рассмотрим, например, соотношения, определяющие зависимость вязкости суспензии (жидкости со взвешенными в ней твердыми частицами) от кон- центрации взвешенных частиц. В 1905 г. А. Эйнштейн в своей работе, по- священной теории флуктуационного (броуновского) движения, получил

знаменитую формулу

= 1 + 2,5с , (5.14)

где – отношение эффективной вязкости суспензии к вязкости жидкости, c – объемная концентрация твердых частиц.

Позднее, после довольно сложных расчетов, было получено сле-

Но даже без обращения к экспериментальным данным, на основе ап- риорных соображений, можно заключить, что как зависимость (5.14), так и

зависимость (5.15) верны только для очень малых значений c .

Физическая интуиция подсказывает, что функция (с) должна иметь особенность внутри интервала [0, 1], связную с тем, что даже при не очень больших значениях c частицы оказываются упакованными настолько плотно, что суспензия практически перестает течь: → ∞ . Ясно, что зави- симости (5.14), (5.15) не отражают это обстоятельство.

В этой ситуации логично обратиться к Паде-аппроксимации, по- скольку дробно-рациональные функции допускают разрывы.

Применение Паде-преобразования к формуле Эйнштейна заключает- ся в аппроксимации вязкости функцией

получается Паде-преобразованием формулы (5.15).

Этот красивый пример, приведенный в [8], наглядно показывает, как априорная информация (в данном случае информация об особенности функции) позволяет восстановить вид зависимости, опираясь на сведения о ее поведении в «малом».

5.2.3. Приток к несовершенной скважине

Скважина, вскрывающая пласт толщиной h только частично (см. рис. 5.7), называется несовершенной по характеру вскрытия. Для расчета радиального притока к такой скважине удобно использовать обобщение формулы Дюпюи в форме

Q = 2 π k h (Pк (5.18)

В0 ln Rrкc

где Q – дебит скважины, k – проницаемость в горизонтальном направле-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

a

h

Рис. 5.7. Несовершенная по степени вскрытия скважина

Величина S характеризует уменьшение дебита скважины из-за не- полного вскрытия и зависит [10] от двух безразмерных величин

решения фильтрационной задачи о радиальном притоке к несовершенной скважине, но в точной постановке эту задачу решить сложно.

Приближенное решение легко получить методом Паде-аппроксима-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

здесь же приведены данные В. И. Щурова, полученные на электрон-анало- говых моделях (кружки), и результаты численного расчета из работы [11]

рис 5.8 представляют собой графики разложений (5.19) и приведены для иллюстрации того, насколько эффективен переход к Паде-аппроксиман- там.

5.2.4. Построение корреляцией для остаточной нефтенасыщенности и коэффициента вытеснения

Одной из основных физико-химических характеристик нефтяного пласта является коэффициент вытеснения нефти водой

β = sнн − sно , sнн

где sнн и sно – начальная и остаточная нефтенасыщенность.

В настоящее время при проектировании используются осредененные статические зависимости, устанавливающие связь коэффициента вытесне- ния с параметрами, определяющими фильтрационно-емкостные свойства пласта и условия вытеснения нефти водой. Часто в проектах разработки месторождений Западной Сибири применяют корреляции, связывающие коэффициент вытеснения с проницаемостью пласта k , в виде

где a , b , c – эмпирические коэффициенты, определяемые из данных лабо- раторных исследований кернов [12]. При этом пласты различных месторо- ждений объединяются в несколько групп (АС, ВС и т. д.), внутри которых для всех объектов разработки принимается зависимость (5.22) с одними и теми же коэффициентами.

Подобный усредненный подход был оправдан в период массового ввода в разработку крупных месторождений с хорошими фильтрационны- ми характеристиками. Однако в настоящее время, когда осваиваются пло- щади с трудноизвлекаемыми запасами, необходимо увеличить надежность технологических решений за счет повышения точности расчетов.

В связи с этим обоснование коэффициента вытеснения необходимо производить индивидуально для каждого пласта. Но при этом объем экс- периментальных данных, используемых для оценки эмпирических коэф-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

фициентов, резко уменьшается, поскольку при выводе корреляционных за- висимостей должны привлекаться только результаты исследований, прове-

денных на кернах рассматриваемого объекта.

Требуется также уточнение модели (5.22), поскольку в водонефтя- ных зонах залежей коэффициент вытеснения нефти зависит не только от проницаемости, но и от начальной нефтенасыщенности пласта [13, 14] (за- висимости β = β (k) применимы только в чисто нефтяных зонах, началь- ная нефтенасыщенность которых определяется насыщенностью связанной водой, хорошо коррелируемой с проницаемостью). Если идти по пути ус- ложнения зависимости (5.22) путем введения новых членов, зависящих от sнн , то это еще более усугубит проблемы, связанные с нехваткой дан- ных для определения большого числа эмпирических коэффициентов.

Эти затруднения могут быть преодолены за счет более осмысленного выбора класса функций, в котором ищется зависимость β = β (k, sнн ). Структура идентифицируемой модели должна явным образом учитывать априорную информацию о механизмах вытеснения нефти водой. (Вообще говоря, это является универсальным рецептом: структура пробных функ- ций в задачах восстановления зависимостей должна быть подобрана с уче- том особенностей моделируемых процессов.) Прежде всего, обратим вни- мание на то, что, с точки зрения подземной гидродинамики, более пра- вильно ставить задачу определения не коэффициента вытеснения, а оста- точной нефтенасыщенности как функции проницаемости и начальной неф- тенасыщенности sно = f (k, sнн ). Коэффициент вытеснения есть величина вторичная, зависимая; она полностью определяется значениями sнн и sно . Отметим, что в современных гидродинамических пакетах программ, пред- назначенных для моделирования процессов разработки, коэффициент вы- теснения напрямую вообще не используется: он закладывается в модель лишь косвенно, путем задания значений sнн и sно ( sнн определяется как критическая нефтенасыщенность, при которой фазовая проницаемость нефти становится равной нулю). Последнее не означает, однако, что нужно вообще отказаться от такого понятия, как коэффициент вытеснения. Эта величина является важной интегральной характеристикой, привычным контрольным параметром, с помощью которого можно судить об адекват- ности расчетов.

На рис 5.9 представлен типичный вид зависимости остаточной неф- тенасыщенности от начальной (точками показаны результаты одной из се- рии лабораторных экспериментов, проведенных на кернах с близкими зна- чениями проницаемости). Будем искать ее в виде обобщенной (допускаю-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

С увеличением проницаемости подвижность нефти увеличивается, что приводит к уменьшению остаточной нефтенасыщенности, поэтому па- раметр δ является возрастающей функцией проницаемости. Аппроксими-

руя ее степенной зависимостью δ = λ kσ , получим окончательно

где λ , σ – эмпирические коэффициенты (σ > 0), определяемые по данным

исследований кернов. Отметим, что зависимость (5.26) спрямляется в ко-

Используя (5.28), легко найти ln λ и σ обычным методом наимень- ших квадратов.

Как видим, использование априорной информации существенно уп-

ростило модель, позволив с помощью всего лишь двух эмпирических ко- эффициентов (вместо трех в (5.22)) учесть еще и зависимость коэффициен-

та вытеснения от начальной нефтенасыщенности.

Это позволяет компенсировать недостаток экспериментальной ин- формации и получить обоснованные расчетные формулы по ограниченно- му объему лабораторных данных.

В принципе, модель (5.26) можно уточнить, считая показатель сте- пени p в (5.23) неизвестным и определяя его одновременно с λ и σ .

В любом случае опыт показывает, что значение р = 12 является хорошим

первым приближением.

В заключение приведем пример еще одной априорной оценки: опыт- ному специалисту сразу ясно, что возможные значения показателя степени в уравнении (5.26) ограничены неравенством

Это следует из того, что одни и те же изменения проницаемости про- являют себя неодинаково на различных участках шкалы проницаемостей. Поэтому проявления проницаемости часто нелинейны, вместо k мы вос- принимаем результат нелинейного сжатия, которое можно описать опера-

циями k → lg k или k → kσ , где 0 < σ < 1. Не зря в зависимостях, связы-

вающих проницаемость с объемными характеристиками пласта, фигуриру- ет lg k (см., например, (5.22)).

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Подчеркнем, что априорные оценки типа (5.28) имеют исключитель- но важное значение как средство контроля и повышения устойчивости расчетов при решении задач восстановления зависимостей по выборкам малого объема.

В работах [13, 14] зависимость остаточной нефтенасыщенности от начальной предлагается аппроксимировать выражением

ские коэффициенты.

По форме это соотношение также представляет собой Паде-аппрок- симанту. Поскольку скорость фильтрации пропорциональна проницаемо- сти, то оно позволяет учесть и зависимость остаточной нефтенасыщенно- сти от проницаемости. Но структура этой аппроксиманты не во всем удов- летворяет сформулированным нами априорным представлениям.

Рис. 5.10. Зависимость коэффициента вытеснения от проницаемости при различных sнн .

● – экспериментальные точки, 1 – sнн = 0,5 , 2 – sнн = 0,65 , 3 – sнн = 0,85