Добавил:

guap4736_vkclub152685050 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.08.2019

Размер:

8.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3618 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ГЛАВА 3

177

так?» «Так он сначала стреляет, а уже потом рисует круги вокруг пробои- ны».

Иными словами, сложность модели (3.10) не соответствует объему доступной теоретической и экспериментальной информации. Приемлемым выходом в этой ситуации может стать использование дифференциально- разностных моделей (т. е. дифференциальных уравнений с запаздывающим

аргументом) вида

ds(t) = f (γ&(t), s(t), s(t − η )). (3.11) dt

Возможность замены системы (3.10) одним уравнением (3.11) физи- чески можно объяснить тем, что цепочка «реакций» разрушения крупных структурных единиц на более мелкие (или восстановления крупных струк- турных единиц из мелких) приводит к некоторому запаздыванию в процес-

сах структурообразования. Наличие отклоняющегося аргумента в моде- ли (3.11) позволяет в какой-то мере учесть это запаздывание, не выписывая

в явном виде кинетические уравнения для всех иерархических уровней. Для примера рассмотрим систему

dx = y,dt

dy = − x.

Исключив переменную y , получим дифференциальное уравнение

второго порядка

x′′ + x = 0 ,

имеющее частное решение x = C sin t . Легко проверить, что эта функция является одновременно и решением уравнения

dx	= − x t −	π	.
dt		2

Таким образом, дифференциально-разностное уравнение первого по- рядка с отклоняющимся аргументом в каком-то смысле аппроксимирует систему дифференциальных уравнений.

3.2. К учету явлений запаздывания в теории фильтрации

При решении задач нестационарной фильтрации через пористые сре- ды обычно за основу принимается закон Дарси. Этим самым предполагает- ся, что равновесное состояние между градиентом давления и скоростью дос- тигается мгновенно. На самом же деле оно достигается с некоторым запо- зданием, которое обусловлено:

а) инерцией скорости и запаздыванием его значения от значения гра- диента давления;

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

178 ГЛАВА 3

б) релаксацией давления и запаздыванием значения градиента давле- ния от значения скорости;

в) сложностью структуры пористой среды и запаздыванием установ- ления равновесного состояния в его микропорах;

г) запаздыванием переупаковки частиц, изменения пористости и про- ницаемости и т. п.

Выявление эффектов, связанных с явлениями запаздывания, может оказаться полезным для изучения фильтрации неньютоновских нефтей, растворов полимеров, смесей, эмульсий и пр.

Чтобы учесть запаздывание скорости υ или давления р, эти величи- ны обычно [8] заменяют на υ + λυυ& и p + λ p p& , где точка означает полную

производную по времени. В линейном приближении вместо закона Дарси будем иметь уравнение

∂ υ

∂

υ + λ

= −

+ λ

(3.12)

∂ t

∂ x

∂ x ∂

аналогичное реологическому уравнению жидкости Фрелиха и Сакка [9],

где λυ и λp – время релаксации скорости и давления соответственно. Уравнение (3.12) при λp=0 есть известное обобщение закона Дарси с

учетом инерционных членов. Обстоятельный его вывод, опирается на предположение, что вязкие силы трения можно считать объемными. Нам представляется целесообразным писать инерционный член по аналогии, а время λυ определять экспериментально.

При λυ=0 уравнение (3.12) дает фильтрационный аналог жидкости Максвелла, а λp есть время релаксации давления. Физический смысл его состоит в том, что если в заданной точке остановить фильтрационное тече- ние, то градиент давления примет нулевое значение не сразу, а постепенно:

∂ p			t
	~ a exp	−		.	(3.13)
∂ x

			λ p

При учете явлений запаздывания граничные условия для давления при нестационарной фильтрации следует определять из (3.12). Например, если начать закачку в галерею с переменной скоростью υ = at , то градиент давления G на входе найдется из решения задачи

	k	&
a(t + λυ ) = −	µ	(G + λ pG),	G(0) = 0 .	(3.14)
	µ

Время релаксации давления для маловязких чистых жидкостей имеет порядок 10–10 с. Оно зависит от размеров молекул, возрастая при переходе от низших гомологов к высшим. У полимеров, обладающих очень длин- ными молекулами, время релаксации огромно. Релаксационные процессы перегруппировки цепных молекул под действием внешних сил протекают чрезвычайно медленно, не заканчиваясь иногда в течение многих суток и

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ГЛАВА 3

179

даже месяцев [10]. При фильтрации в неоднородной пористой среде следу- ет ожидать наличия множества одновременно идущих процессов с весьма различными временами релаксации, соответствующими молекулярным взаимодействием различных масштабов и неоднородностям геометрии пор.

При обычных предположениях теории упругого режима [11, 12] со- отношение (3.12) приводит к уравнению нестационарной фильтрации вида

∂ p

∂

+ λ

= χ

+ λ

χ =

∂ t

∂

µ (mβ ж + βc )

идентичному полученному в теории трещиновато-пористых сред.

Здесь m и k – пористость и проницаемость среды,

– вязкость жид-

кости, β ж и βc – сжимаемость жидкости и пористой среды.

Механизм обмена жидкостью между блоками и трещинами объясня- ет возникновение релаксации давления. Вместе с тем релаксация давления в пористой среде может быть обусловлена не только этой причиной. Мно- гие результаты, полученные при изучении фильтрации в трещиновато- пористых средах, могут быть интерпретированы более широко – для сред со сложной геометрией пор или составных (песок + глина + ...) пористых сред, характеризующихся микронеоднородностью.

Если рассматривать задачу о восстановлении давления в полубеско-

нечном линейном

пласте

с начальным

распределением

давления

p(x,0) = ax , то, взяв граничное условие (2.14) при х = 0, для определения

давления можно получить формулу

λ p + λυ

2a χ

p(0,t) =

πλ

∫

t − τ exp −

2λ

τ I0

2λ

dτ .

p υ

Из этой формулы, в частности, следует, что для малых времен

p(0,t) ≈ 4 at

χt

πλ

p v

т. е. вместо крутого (пропорционального t ) роста давления, характерного для классической модели, происходит весьма медленный (пропорциональ- ный t t ) его рост. Для больших значений времен имеет место асимптоти- ческая формула

		λ		+	λ	2		+ 4λ	λ	2
	−	λ	p	+	λ	3λ	p	+ 4λ	λ	+ 3λ
p(0,t) ~ 2a χ t /π 1	−		p		υ −		p		p υ	υ	− ... ,
				4t				32t2

т. е. поведение давления будет почти таким же, как и при λр = λυ = 0.

В работе [13] приводятся кривые восстановления давления (КВД) для составных пористых сред, полученные на линейных лабораторных моде- лях. Эти кривые имеют ярко выраженный линейный начальный участок,

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

180	ГЛАВА 3

тогда как классическая теория дает зависимость типа			t . Линейный харак-
тер	на начальном участке хорошо объясняется,	если принять λр ≠ 0

при λυ = 0, причем для коротких моделей не пьезопроводность, а время ре- лаксации определяет процесс [14].

3.3. Масштабная инвариантность временных иерархий в процессах релаксации вязкоупругих сред

Многие практически и теоретически важные задачи приводят к не- обходимости моделирования процессов релаксации в реофизически слож- ных средах. Такие среды встречаются при производстве самых разнооб- разных материалов (резины, пластмасс, тканей, красок, смазок, пищевых

продуктов и др.) [9, 15–19]. Исключительно большое значение они имеют также в процессах, связанных с добычей нефти [19–21]. Интерес к ним

обусловлен огромным разнообразием новых эффектов, могущих возник- нуть в релаксирующих материалах. Изучение их реологии способствует лучшему пониманию и усовершенствованию технологических процессов, рациональной разработке новых высокоэффективных технологий и про- дуктов.

Релаксационные явления в реофизически сложных средах связаны с медленным развитием процессов перегруппировки структурных единиц различного масштаба. (Так, в случае полимеров таковыми являются гибкие молекулы, их отдельные сегменты или же пачки, образованные этими мо- лекулами.) Эти процессы приводят к запаздыванию изменений деформа- ции от изменения напряжения (гистерезис, упругое последействие, релак- сация напряжения и т. д.) и могут быть описаны с помощью моделей упру- гих тел с внутренним трением и вязких тел, обладающих упругостью. Механические модели вязкоупругих тел полезны для понимания качест- венных особенностей явлений релаксации, но их применение к количест- венному описанию реальных материалов требует построения очень слож- ных систем, состоящих из большого числа различных пружин и вязких элементов (что связано с наличием иерархии структурных единиц различ- ного масштаба, приводящей к иерархии широко распределенных времен релаксации). Ясно, что сложные модели не могут оказаться эффективны- ми – слишком велики трудности, связанные с определением многочислен- ных релаксационных параметров по экспериментальным данным, а также с решением задач моделирования движения сред с широким спектром вре- мен релаксации.

Ниже показано, что отмеченные затруднения могут быть преодолены за счет конкретизaции структуры временных иерархий, определяющих ре- лаксацию в реофизически сложных средах. Проведен анализ эксперимен-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ГЛАВА 3

181

тальных данных, который показывает, что распределение времен релакса- ции в этих средах может оказаться масштабно-инвариантным, т. е. иметь фрактальную структуру. Показано, что наличие временной фрактальности позволяет облегчить описание процессов релаксации, приводя на больших временах к универсальным релаксационным функциям достаточно просто- го вида [22, 23]. Показано также, что в ряде случаев возможно использова- ние реологических моделей, содержащих производные дробного порядка.

3.3.1. Релаксация напряжения в вязкоупругих средах

Многоуровневые процессы релаксации в вязкоупругих средах опи- сываются моделью обобщенного тела Максвелла с функцией релаксации

∞	−	t
			,

Φ(t) = ∑Gi exp		λ
i=1		i

где λi – характерное время релаксации на i -м уровне организации струк-

туры; Gi – коэффициент, определяющий «вклад» i -го уровня в общий процесс релаксации.

Мастабно-инвариантное распределение релаксационных параметров

проявляется в скейлинговых законах вида
G			= G0 = G			exp(− nl),			l = ln l ;	(3.15)
	n		ln	0					1
			ln
			1
λ	n	= λ mn = λ exp(nm),							m = ln m ,	(3.16)
	n		0 1		0				1
или вместо (3.16)
					λ		n	= λ nv .		(3.17)
							n	0

Таким образом, при наличии временной масштабной инвариантно- сти ln Gn должен линейно уменьшаться с увеличением n.

Существование такой зависимости подтверждается данными рабо- ты [18], в которой приведены значения Gn и λn для нескольких иерархи-

ческих уровней образцов монодисперсного и полидисперсного полистиро- лов. По этим данным линейной является и зависимость от номера уровня

логарифма времени релаксации, что может быть проявлением зако-

на (3.16).

Выбрав скейлинговые законы (3.15) и (3.16) и преобразовав сумму в функции релаксации в интеграл, получим

∞	−	t


Φ(t) = G0 ∫ exp(− xl)exp		λ0	exp(− xm) dx .
0

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

182

ГЛАВА 3

Для определения асимптотики этого интеграла на больших временах сделаем замену переменной z = exp(− xm) и по методу Лапласа получим

	G		t	−l / m
	G	l	t
Φ(t) ≈	0	Γ			,
Φ(t) ≈		Γ			,
	m
	m	m	λ0
Г(x) – гамма-функция.

Если же времена релаксации задаются законом (3.17), показать, верна асимптотика

	t 1/(ν +1)				λ l−ν			1	−(ν +1)
					0
Φ(t) ~ exp	−		,	λ =		1	+			.
Φ(t) ~ exp	−		,	λ =	ν	1	+	ν		.
		λ			ν			ν

(3.18)

то, как легко

(3.19)

Таким образом, масштабная инвариантность процессов релаксации существенно упрощает их описание и позволяет использовать достаточно простые универсальные функции релаксации вида (3.18) и (3.19).

Отметим, что функция релаксации вида (3.18) с показателем степени, равным –1/2, может быть получена в рамках молекулярной теории вязко- упругости Рауса и Бикки [18]. Однако эта теория не в состоянии объяснить часто наблюдаемое на практике отклонение значения показателя степени

от указанной величины и, тем более, происхождение функций релаксации вида (3.19).

Масштабная инвариантность распределения релаксационных пара- метров может послужить для объяснения принципа температурно-времен-

ной суперпозиции [18], который выражается связью
Φ(k(T )t) = k1(T )Φ0 (t) ,	(3.20)

где Φ(t) и Φ0 (t) – функции релаксации при температурах T и T0 , T0 – не-

которая характеристическая температура, k , k1 – коэффициенты, завися- щие от температуры ( k(T0 ) = k1(T0 ) = 1).

Действительно, если считать, что скейлинговые показатели l , m не

зависят от температуры, то из (3.18) получим (3.20) при
k(T ) =	λ0	(T )	,	k1(T ) =	G0 (T )	.
	λ0 (T0 )				G0 (T0 )

В качестве примера нами была рассмотрена кривая релаксации на- пряжения в образце монодисперсного полистирола, приведенная в [18]. Расчеты показали, что эта кривая релаксации напряжения вполне удовле-

творительно описывается законом (3.19) при	1	= 0,50 .
	v + 1

3.3.2. Реологические модели в дробных производных

Рассмотрим теперь вязкоупругое тело, представляемое множеством последовательно соединенных тел Кельвина–Фойхта. Тогда связь между

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ГЛАВА 3

183

скоростью деформации

напряжением определяется

соотношени-

ем [15, 16]

τ (t)

Dγ (t) =

(t − ξ )dτ (ξ ), ψ (t) = ∑

−

+ ∫ψ

, (3.21)

exp

где γ (t) – величина сдвига,

– вязкости элементов, λ – времена релакса-

ции, D =	d	.
ции, D =		.
	d t
Как и выше, предположим наличие масштабной инвариантности
распределения релаксационных параметров:
		µn = µ0 exp(l′n),		λn = λ0 exp(n m) .
Тогда (см. 3.18)
		ψ (t) ≈ Lt−ε1 ,		L = Γ(ε	)	τ 0ε1		(3.22)
		ψ (t) ≈ Lt−ε1 ,		L = Γ(ε	)	µ0m		(3.22)
				1		µ0m
и (3.21) можно переписать в виде
		Dγ (t) = µ −1τ (t)+ αD−ε Dτ (t);						(3.23)
		ε = 1 – ε1, ε1 = l ′/m, α = L Γ (ε);
		D−ε f (t) ≡	1	∫t (t − ξ )ε −1 f (ξ )dξ
		D−ε f (t) ≡	Γ(ε )	∫t (t − ξ )ε −1 f (ξ )dξ
			Γ(ε )	0
				0
( D−ε f (t) – дробная производная порядка –ε).
Принимая Gn = G0 exp(–l n) и учитывая, что λ =							n	, получим
Принимая Gn = G0 exp(–l n) и учитывая, что λ =								, получим
						n	Gn
							Gn
		λ = µ	G−1 exp((l′ + l)n),
		n	0 0

откуда 0 < ε1 < 1, 0 < ε < 1.

Таким образом, наличие временной масштабной инвариантности приводит к необходимости использования реологических моделей в дроб- ных производных. Отметим, что подобные модели вводились (исходя из других соображений) и ранее (см., например, [16, 17, 24]). Полученный на- ми результат имеет также связи с работами [23, 25], в которых показано, что временная самоподобность процессов приводит к уравнениям в дроб- ных производных. Подчеркнем, что реологический закон с дробными про- изводными получен нами для модели, включающей всего лишь различные пружины и вязкие элементы, в отличие от работы [17], в которой постули- руется существование самостоятельного типа деформации – высокоэла- стичной деформации, которая не может быть сведена к сумме упругости и вязкого трения.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

184 ГЛАВА 3

3.3.3. Процессы релаксации при объемной деформации

Рассмотрим теперь процессы релаксации при объемной деформации. В ряде экспериментов [26, 27] было замечено, что если сосуд заполнить структурированной жидкостью (например, нефтью с асфальтено-смолис- тыми примесями), а затем создать в сосуде избыточное давление и герме- тически закрыть его, то давление в сосуде медленно падает до некоторого стационарного значения. Релаксационные процессы такого рода связаны с перегруппировкой макромолекул и кластеров, образованных ими. При бы- стром сжатии такая система претерпевает мгновенную упругую деформа- цию, величина которой определяется коэффициентом объемной упругости среды в начальном состоянии. Затем происходит медленная перегруппи- ровка структурных единиц различной сложности, что за счет уплотнения среды приводит к некоторому уменьшению ее объема и, как следствие, к некоторому уменьшению давления.

Процесс релаксации давления можно описать обобщенной моделью Максвелла, если изменение давления δ p считать аналогичным напряже-

нию τ , относительное изменение плотности			δρ – аналогом деформации γ
			ρ0
( ρ	0	– начальная плотность среды) и положить G =		1	(i = 0, 1, 2, ...), где

			i	βi

β0		– равновесная (при t → ∞ ) сжимаемость среды, βi			– мгновенная сжи-

маемость вязкоупругих структурных единиц.

Записав баланс сил для модели обобщенного тела Максвелла, полу-

чим

τ = G0γ + ∑µiγ i ,

i=1

(3.24)

λiγ i + γ i = γ ,

где γ

– смещение i -го вязкого элемента, λ = i

– время релаксации i -го

звена.

Переходя к величинам δ p и δ ρ , из (3.24) легко получить

ρ0β mδp (t) = δ ρ (t)− ∫t ψ (t − ξ )δρ (ξ )dξ ,

где ψ (t) ≡ β m ∑

мгновенная сжимаемость среды, оп-

β λ

exp −

, β m –

i=1

i i

ределяемая соотношением

= ∑

β m

i=0

βi

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ГЛАВА 3

185

Отсюда, вновь приняв скейлинговые законы вида (3.15), (3.16), полу- чим, аналогично (3.23),

ρ	0	β	δp = δρ − β ′D−ε ′δρ .	(3.25)
	0		m

Таким образом, уравнение состояния вязкоупругих сред также может содержать дробные производные (отметим, что степени производных

в(3.23) и (3.25) могут различаться, хотя мы сохраняем для них одно и то же обозначение).

Вкачестве примера рассмотрим данные следующего опыта, прове- денного Г. М. Панаховым. Термостатируемый контейнер высокого давле- ния заполнялся структурированной нефтью, содержащей примеси в виде парафинов и смол. После заполнения контейнер тщательно вакуумировали, а затем производили мгновенное повышение давления путем быстрого на- гнетания в контейнер небольшой порции нефти из бомбы PVT. После это-

го контейнер закрывался и производилась регистрация падения давления во времени. Результаты одного из таких опытов, в ходе которого давление

взакрытом контейнере упало от 5 МПа до 4,64 МПа, приведены ниже.

t ×10− 2 , c	0	1,5	3	6	15	30	60
p, MПа	5,00	4,91	4,85	4,78	4,72	4,68	4,65

Предположим, что релаксация давления в контейнере описывается

уравнением (3.25). Для идентификации этой модели воспользуемся опера- ционным методом [28, 29].

Поскольку плотность нефти в процессе релаксации давления не ме-

няется, то, осуществив преобразование Лапласа, получим из (3.25)
		ln(1− su) = ln β ′ − ε ′ ln s ,						(3.26)
	1	∞		1
где u =		∫ exp(− st)δp (t)dt , δp(0) =					δρ (0).
где u =	δp (0)	∫ exp(− st)δp (t)dt , δp(0) =	ρ	0	β		δρ (0).
	δp (0)	0	ρ		β	m
		0				m

Таким образом, если объемная релаксация действительно описывает- ся моделью (3.25), то кривая изменения давления должна спрямиться в ко-

ординатах Y = ln(1− su), ln s . Для проверки этого факта мы задавались раз- личными значениями s из интервала [5 / T; 20 / T ] (Т – время снятия экспе-

риментальной кривой; в нашем случае T = 6000 с) и вычисляли изображе-
ние функции δ p (t) по формуле			∑ δ p (ti+1)− δ p (ti )(e− sti − e− sti+1 ) .
U (s) = δp(0)	+	1
		s2
s			i	ti+1 − ti

Результаты проведенных вычислений свидетельствуют, что кривая релаксации действительно спрямляется в указанных координатах. По углу наклона прямой было найдено ε = 0,78.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

186 ГЛАВА 3

Полученные нами результаты могут быть использованы для вывода уравнений движения релаксирующих сред. Прежде всего, рассмотрим движение структурированной релаксирующей жидкости в трубе радиуса R.

Реологическое уравнение среды запишем в виде (ср. с (3.23))
−	∂ υ	=	τ	+ αD	−ε ∂ τ	,	(3.27)
	∂ r		µ		∂ t

где υ (r, t) – составляющая скорости вдоль оси трубы.

Осредняя (3.27) по сечению трубы, в рамках квазистационарного приближения [30] можно получить следующее уравнение движения:

∂ p

∂ w + 2aw

= −

∂ p + αD−ε D

2a =

(3.28)

∂ t

∂ x

ρ0R2

где w – средняя по сечению скорость, ∂ p

– градиент давления вдоль оси

∂ x

трубы.

Уравнение неразрывности

∂ ρ = −ρ0

∂ w

∂ t

∂ x

при учете (3.25) можно записать в виде

c2 (1− β ′D−ε ′ )∂ w ,

∂ p = − ρ

= (β

)−

(3.29)

∂ t

∂ x

где c0 – «мгновенная» скорость звука в среде.

Исключая из (3.28) и (3.29) скорость, получим уравнение движения релаксирующей жидкости в виде

(D + 2a)p = c2 (1− β ′D−ε ′ )(1+ αD−ε D)					∂ 2 p	.	(3.30)

0					∂ x2

Уравнения фильтрации, как известно, можно получить, пренебрегая
в (3.28) инерционным членом ∂ w и полагая	1	=	k	, где теперь w – ско-
	2a
∂ t		µ

рость фильтрации, k – проницаемость пористой среды. Следуя известной

методике (например, [11]), в этом случае получим следующий ана-

лог (3.30):

Dp = χ (1− β ′D−ε ′ )(1+ αD−ε D) div(grad p), χ =	k	,

	η m β
	η m β
где χ – коэффициент пьезопроводности, m – пористость,	β – сжимае-
мость пласта.

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3618 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
21.08.2019452.81 Кб3ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ ПРИ РАЗРАБОТКЕ НЕФТЯНЫХ И ГАЗОВЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ.pdf
#
15.09.2019315.6 Кб11Производство, хранение и выдача сжиженного природного газа.pdf
#
10.08.2019638.81 Кб28Происхождение нефти и газа.pdf
#
21.08.2019677.05 Кб6происхождения нефти и газа.pdf
#
16.08.2019226.07 Кб17Процессы и аппараты нефтегазопереработки и нефтехимического синтез.pdf
#
24.08.20198.3 Mб24ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ.pdf
#
10.08.2019220.54 Кб10развитие процессов нефтегазообразования и нефтегазонакопления.pdf
#
19.08.2019608.44 Кб12РАЗЛИВЫ НЕФТИ И НЕФТЕПРОДУКТОВ.pdf
#
17.08.2019955.13 Кб35Разработка нефтяных месторождений ответы.pdf
#
18.08.2019512.21 Кб11Разработка нефтяных месторождений.pdf
#
19.08.20193.99 Mб30РАЗРАБОТКИ НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ.pdf