ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

дов оценки начальных извлекаемых запасов (НИЗ) для таких месторожде- ний по характеристикам вытеснения – зависимостям накопленного отбора

нефти от накопленного отбора жидкости, представленным в той или иной форме [28–34].

Как и любые задачи долгосрочного прогноза, экстраполяция промы- словых данных этими моделями очень чувствительна к малым погрешно- стям, содержащимся в исходной информации. Поэтому большое значение имеет обоснованный выбор вида уравнений, аппроксимирующих динами- ку накопленной добычи нефти.

Для устойчивой оценки НИЗ могут быть использованы эволюцион- ные модели, основанные на универсальном законе роста сложных природ- ных систем – логистическом уравнении [35]. В рамках этого подхода ус- тойчивость долгосрочного прогноза обеспечивается за счет привлечения априорной информации об универсальных законах развития. Здесь легко прослеживается аналогия с некорректно поставленными задачами, регуля- ризация которых также производится с помощью априорной информации.

Многочисленные примеры из разных областей наук показывают, что эволюции сложных систем присуще свойство самоподобия. В связи с этим в настоящем разделе рассмотрены возможности применения в задачах про- гноза добычи нефти модели С. П. Капицы [36], описывающей самоподоб- ный (автомодельный) рост.

Обычная практика применения прогнозных моделей подразумевает их «обучение», т. е. подбор «наилучших» параметров моделей из условия минимального отклонения расчетных кривых от экспериментальных точек. При этом широко используется метод выравнивания – переход к некото- рым специальным координатам, в которых характеристики вытеснения линеаризуются относительно искомых параметров. Однако это преобразо- вание приводит к появлению систематических ошибок (ошибок модели), существенно ухудшающих качество долгосрочного прогноза. Поэтому ни- же «обучение» модели предлагается проводить в пространстве исходных переменных, что приводит к необходимости решения задач нелинейной регрессии. В связи с этим рассматривается эффективный метод численного поиска параметров нелинейных моделей, базирующийся на идеях генети- ческих алгоритмов [37, 38].

Апробация предложенного способа оценки извлекаемых запасов (за- ключающегося в прогнозе динамики добычи нефти по модели С. П. Капи- цы, параметры которой определяются с помощью генетического алгорит- ма) показала, что он обладает рядом преимуществ по сравнению с тради- ционно применяемыми методами.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

2.7.1. Эволюционные модели роста накопленной добычи нефти

В работе [35] динамику накопленной добычи нефти предлагается описать с помощью моделей, основанных на универсальном логистиче- ском законе:

Согласно (2.68) на начальном этапе развития нефтяного месторож- дения наблюдается экспоненциальный рост добычи нефти, а относитель- ная скорость отбора нефти

где Q – годовая добыча нефти).

Однако экспоненциальный рост и экспоненциальная асимптотика логистической кривой не удовлетворяют весьма существенному условию эволюции сложных природных систем – условию самоподобия (автомо- дельности) развития. Последнее может быть выражено в виде требования

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Вматематической физике решения вида (2.70) известны как режимы

собострением и подробно изучены в исследованиях динамики и взрывного поведения нелинейных систем [39]. В момент времени T1 , согласно (2.70)

и (2.72), значение накопленной добычи нефти становится бесконечно боль- шим, поэтому степенное решение (2.72) верно только как промежуточно- асимптотическое [40].

Для устранения особенности в точке t = T1 С. П. Капица предложил добавить в знаменатель правой части уравнения (2.72) регуляризующее

уравнение (2.73) сводится к модели (2.72), описывающей автомодельную эволюцию.

системы: гиперболический рост накопленной добычи сменяется ростом с насыщением (см. рис. 2.11, где приведена безразмерная накопленная до-

быча нефти V , V∞ = π Q0τ ).

V∞

При практическом применении модели (2.74) параметры Q0 , T , τ определяются из условия наилучшей аппроксимации экспериментальных данных, представленных в виде выборки {ti ; Vi }, где Vi – значение накоп- ленной добычи нефти в момент времени ti , i = 1, 2, ..., l .

При этом промежуток времени [t1, tl ] делится на два интервала: ин- тервал обучения [t1, tm ] и интервал экзамена [tm , tl ]. Данные первого ин- тервала используются для подбора значений параметров Q0 , τ и T1 путем минимизации невязки

arctg t − T1 → π .

⎝τ 2

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

2.7.2. Решение обратных задач с помощью генетических алгоритмов

Решение обратной задачи по определению параметров Q0 , τ , T1 на интервале обучения сводится к поиску минимума невязки (2.78), т. е. к за- даче нелинейного программирования.

Эффективный поиск оптимальных значений Q0 , τ , T1 может быть организован с помощью генетических алгоритмов (ГА) [37, 38].

В основе ГА лежит постепенное приближение к оптимальному ре- шению, реализуемое путем создания «популяции» возможных решений и организации «эволюции» этих решений путем их попарного «скрещива- ния» и «воспроизводства» потомства (новых возможных решений) со слу- чайными «мутациями». Каждая особь (возможное решение) оценивается мерой ее «приспособленности» согласно тому, насколько оно удовлетво- ряет критерию качества данной оптимизационной задачи. Воспроизводить «потомство» имеют возможность только наиболее «приспособленные» решения. Менее приспособленные особи «воспроизводят» потомков с меньшей вероятностью, так что те свойства, которыми они обладают, бу- дут постепенно исчезать из популяции в процессе эволюции.

Скрещивание наиболее приспособленных особей приводит к тому, что исследуются наиболее перспективные участки пространства поиска. В конечном счете, популяция будет сходиться к оптимальному решению задачи.

Наличие наследственности является преимуществом ГА по сравне- нию с совершенно случайными методами поиска решений (например, ме- тодом Монте-Карло), когда на новом шаге поиска никак не используется информация о результатах предыдущих проб.

Скорость определения минимума невязки I1 повышается при огра- ничении области поиска оптимальных значений параметров Q0 , τ , T1 .

Заметное сужение области поиска может обеспечить условие

T1 − 0.43τ − t ≤ ∆t ,

полученное с учетом равенства (2.77). Здесь t – момент времени, при ко- тором относительная скорость отбора ξ , определенная по данным истории разработки месторождения, принимает максимальное значение, ∆t – по- грешность оценки t .

Исходя из потенциала добывающих скважин, можно также получить достаточно надежную интервальную оценку максимальной добычи

Оценка величины T1 может быть получена путем аппроксимации ги- перболой начального участка кривой роста накопленной добычи нефти.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Для крупных месторождений Западной Сибири (500 и более сква- жин) был проведен анализ точности прогноза модели (2.74) и широко рас- пространенных характеристик вытеснения (моделей С. Н. Назарова– Н. В. Сипачева, А. М. Пирвердяна и других).

Среднеквадратичное отклонение на интервале экзамена от фактиче- ских данных приведено на рис. 2.13.

Среднеквадратичное отклонение, %

10

А.М. Пирвердяна С.Н. Назарова, Н.В. Сипачева

6

4

2

0

Обводненность, доли единицы

Рис. 2.13. Зависимость среднеквадратичного отклонения прогноза добычи нефти от обводненности на интервале обучения

Легко заметить, что среднеквадратичное отклонение прогноза добы- чи нефти по модели (2.74) даже при малых значениях обводненности (по-

рядка 45% на правом конце интервала обучения) приводит к приемлемым результатам. Таким образом, эту модель можно использовать уже на ран- них стадиях разработки крупных месторождений для обоснованного про- гноза добычи нефти.

2.8. О методах идентификации модели упругого пласта

Математическое моделирование процессов нестационарной фильт- рации осложняется отсутствием надежных априорных оценок сжимаемо- сти коллекторов и насыщающих их флюидов. Реальные значения коэффи- циента эффективной сжимаемости пласта могут довольно сильно отли- чаться от обычно принимаемых значений (≈ 5 10–4 МПа–1). Поэтому сжи- маемость пластовых систем целесообразно определять опытным путем, на основе решения обратной задачи идентификации модели упругого пласта

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

по промысловым данным о закачке и отборе жидкостей, а также о динами- ке пластового давления. В настоящем разделе рассматриваются некоторые общие подходы к этой проблеме и обсуждаются конкретные алгоритмы расчетов.

Решение поставленной задачи весьма чувствительно (в связи с малой сжимаемостью пород и флюидов) относительно точности определения разности объемов закачанной воды и отобранной жидкости. Одним из ис- точников погрешностей служит то, что расход воды измеряется со значи- тельно меньшей точностью, чем добыча нефти. В случае многопластовых систем данные по отбору нефти также ненадежны, поскольку разделение продукции по пластам производится приближенно, часто чисто расчетным путем.

Следует также учесть, что на поддержание пластового давления рас- ходуется не весь зарегистрированный объем закачанной воды, поскольку возможны утечки воды через литологические окна, связывающие разные пласты, а также потери воды из-за негерметичности поверхностных водо- водов и обсадных колонн нагнетательных скважин. Иногда могут наблю- даться и обратные перетоки из соседних пластов. Дополнительные слож- ности могут быть связаны с вторжением в продуктивный пласт законтур- ной воды.

При формализованном описании утечки и вторжение воды могут быть учтены введением в уравнение материального баланса некоторых до- полнительных членов и поправочных коэффициентов. Поскольку априор- ная информация о проявлении подобных процессов зачастую отсутствует, то задача идентификации математической модели упругого пласта должна быть поставлена в широком смысле: требуется определить не только пара- метры (коэффициенты) модели, но и саму структуру модели. Последнее необходимо потому, что вид модели косвенным образом учитывает прояв- ление тех или иных процессов, влияющих на баланс жидкостей.

Как уже отмечалось в разделе 2.3, при обработке экспериментальных данных качество решения задач идентификации существенно зависит от сложности моделей. Излишнее усложнение модели приводит, как правило, к повышенной неустойчивости решения обратной задачи, поэтому ниже основное внимание уделяется проблеме выбора оптимальной сложности модели упругого пласта.

Простейшее уравнение материального баланса можно записать в ви-

где b = β Vп0 , β и Vп0 – коэффициент эффективной сжимаемости и поро- вый объем пласта, P – среднее пластовое давление, Qз, Qн, Qв – объемы

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

(в пластовых условиях, в единицу времени) закачанной воды, отобранной нефти и отобранной воды соответственно, P0 – давление в начальный мо- мент времени t0 .

Рассмотрим некоторые возможные модификации модели (2.80).

Учет изменения объема пласта. Активный объем пласта, учиты-

ваемый в уравнении материального баланса, является переменной величи- ной, поскольку:

а) объем пласта, вовлеченный в разработку, растет по мере освоения месторождения в соответствии с ростом числа скважин;

б) значения пластового давления измеряются, как правило, на актив- но разрабатываемых участках и, следовательно, характеризуют только эти участки.

Считая, что характерное время изменения давления намного меньше, чем характерное время увеличения «активного» объема пласта, можно

при t → ∞ к 1.

Учет потерь воды. Считая, что потери воды, вследствие негерме- тичности водоводов и обсадных колонн нагнетательных скважин, пропор-

где k – коэффициент, определяющий долю «полезно» использованной во- ды.

Учет перетоков жидкости. Полагая, что величина перетоков жид- кости между пластами или же из законтурной области к залежи (и обратно) пропорциональна разности соответствующих давлений, уравнение матери- ального баланса при наличии перетоков можно записать в следующем об-

щем виде:

bf (t) dPdt = Qз − Qн − Qв − λп (P − Pп ) − λк (P − Pк ) ,

где Рп – давление в пласте, прилегающем к данному, Рк – законтурное дав- ление, λ п , λ к – коэффициенты, определяющие интенсивность перетоков

(в частных случаях они могут быть вместе или в отдельности быть равны-

где ∆P = P − P0 , λ = λ п + λ к , q = λ п Pп + λ к Pк − λ P0 .

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

dt

Уравнение (2.84) может быть упрощено, если предположить наличие

где Pн – давление нагнетания, λ н – коэффициент, определяющий приеми-

стость нагнетательных скважин.

Тогда, преобразуя (2.84), получим следующее уравнение, аналогич-

Динамика роста объема пласта. Анализ промысловых данных по-

казывает, что в начальный период разработки месторождения число сква- жин растет экспоненциально, а затем темпы ввода скважин уменьшаются, поскольку вступают в силу ограничения, связанные с конечностью объема месторождения. Такая динамика типична для всех процессов роста в слож- ных природных системах. Поэтому естественно предположить, что функ- ция f (t), описывающая увеличение объема пласта, вовлеченного в разра- ботку, подчиняется универсальному логистическому закону (см. предыду- щий раздел).

где λ a – характерное время разбуривания месторождения.

Уравнение (2.86) совместно с одним из уравнений (2.81)–(2.85) пред- ставляет собой математическую модель упругого пласта. Предполагается, что параметры b, k, λ , q должны определяться по промысловым данным путем решения обратной задачи.

Отметим, что сведения, которые позволили бы априори выбрать наиболее приемлемую модель, чаще всего отсутствуют. Поэтому иденти- фикация модели упругого пласта состоит из двух тесно взаимосвязанных задач:

1)определение структуры модели, т. е. выбор одного из уравнений (2.81)-(2.85) для описания динамики пластового давления;

2)оценка параметров выбранной модели.

На первый взгляд, проблема выбора модели упругого пласта может быть решена предельно просто: достаточно воспользоваться наиболее об- щим соотношением (2.84) и в ходе решения обратной задачи оценить зна- чения его коэффициентов. Наличие потерь или перетоков жидкости можно диагностировать по отклонению значения k от 1, а λ (и q) – от 0.