ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Учитывая условия (3.70), (3.82), (3.83), из (3.84), (3.85) получаем

и удовлетворяют условиям (3.72). При этом предполагается, что 1+ α σ > 0. Условия (3.70) в данном случае выполняются, что легко проверяется непо- средственно.

Повторяя те же рассуждения, что и в случае σ > 0 , приходим к сле- дующим результатам.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

218 ГЛАВА 3

равна 6%.

Следует отметить, что если известны значения функции σ (x, t) при x = 0 , то легко получить оценки более точные, чем (3.86), (3.87).

3.8.Периодические и стохастические автоколебания

вротационных вискозиметрах

Опыт реологии тиксотропных сред показывает, что в ряде случаев экспериментальное определение их реологических параметров затрудняет- ся невозможностью поддержания стационарных режимов течения. Так, при постоянном числе оборотов двигателя вискозиметра величина измеряемого касательного напряжения может меняться во времени достаточно сложным образом. Качественное описание этого эффекта приведено в [55]. Анало- гичные осложнения возможны и в случае капиллярного вискозиметра, что,

вчастности, подтверждается опытами по исследованию колебательных режимов истечения полимерных растворов из капилляра [56]. Это явление

внаучной литературе получило название эластичной турбулентности.

Для его объяснения привлекалась гипотеза проскальзывания жидкости у стенок вискозиметра или капилляра [57–59]. Высказывалось также предпо-

ложение о том, что причиной возникновения эластичной турбулентности являются происходящие в процессе течения структурные перестройки [60].

Рассмотрим математическую модель, описывающую движение тик- сотропной жидкости в зазоре между цилиндрами ротационного вискози- метра. Считая толщину зазора малой по сравнению с радиусами цилинд- ров, примем плоскую схему течения, согласно которой исследуемая жид-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

кость находится между двумя параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на расстоянии h .

Нижняя бесконечно протяженная пластина неподвижна, а верхняя – подвижная – обладает достаточно большой площадью, чтобы можно было бы пренебречь краевыми эффектами. Верхняя пластина приводится в по- ступательное движение с помощью пружины, один конец которой прикре- плен к пластине, а другой движется с постоянной скоростью υ0 .

Сдвиговое течение жидкости между пластинами описывается урав- нением

m, Q – масса и площадь верхней пластины.

Система уравнений (3.88), (3.89) замыкается с помощью граничных

Вязкость тиксотропной жидкости зависит от степени ее структури- рованности. В качестве количественной характеристики степени структу- рированности жидкости будем использовать концентрацию разрушенных в процессе течения связей s . Зависимость вязкости жидкости от концентра- ции s примем в виде

где σ , β – некоторые положительные постоянные.

В соответствии с этой параметризацией при s = 0 вязкость жидкости максимальна и равна µ0 . По мере разрушения связей (с увеличением s ) вязкость уменьшается по нелинейно-экспоненциальному закону, достигая своего минимального значения µ при s = s .

Для описания процессов разрушения–восстановления связей между структурными элементами среды при сдвиговом течении введем следую- щее кинетическое уравнение:

∂ s = −α {s − s [1− exp(− γsµ (s)ε&2 )]}, (3.92)

∂ t

где α и γ – положительные постоянные, ε& = ∂ υ ∂ y – скорость сдвига.

С увеличением скорости сдвига ( E& > 0,95) происходит разделение поля течения на «доменные» структуры с разрушением части связей вбли- зи подвижной стенки. При этом нулевое состояние Si = 0 теряет устойчи- вость с рождением нового положения равновесия Si ≠ 0, которое, в свою

очередь, при дальнейшем увеличении E& теряет устойчивость с образова- нием предельного цикла. Размах колебаний величины касательного напряжения (Tmax и Tmin ) показан на рис. 3.11 пунктирными линиями. Средние по времени значения Т при этих колебаниях изображены тонкой сплошной линией.

При дальнейшем увеличении скорости сдвига E& имеет место про- цесс последовательного удвоения периода автоколебаний, приводящий к хаосу при E& = E&∞ = 1,517. Наблюдающиеся при этом стохастические коле-

бания величины касательного напряжения показаны на рис. 3.12.

Анализ соответствующего этому аттрактору отображения Лоренца (связи между последовательными экстремумами напряжения, рис. 3.13) показывает, что в исследуемой системе переход к хаосу реализуется по

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

224 ГЛАВА 3

Для существования стохастического поведения необходимо выпол- нение условия размешивания, что обеспечивается экспоненциальным раз- беганием траекторий в каждой точке аттрактора (см. главу 1). Характер этого разбегания можно оценить, исследуя энтропию Колмогорова, кото- рая определяется выражением [40, 62]

где R(0) и R(τ) – расстояния между двумя точками в фазовом пространстве, соответственно, в начальный момент времени и через промежуток време- ни, равный τ .

K

0,1

K∞=0,057

0

больше нуля. Из рис 3.14 видно, что со временем величина энтропии Кол- могорова выходит на положительный стационарный уровень K∞ = 0,057.

При дальнейшем увеличении скорости сдвига ( E& > 1,67) имеет место обратный каскад бифуркаций Фейгенбаума, который при значе- нии E = 1,87 приводит к исчезновению автоколебаний с образованием ус- тойчивого равновесия. Это равновесие характеризуется высокой степенью разрушения структурных связей ближнего к подвижной стенке «домена». С увеличением E& число этих разрушенных связей возрастает, асимптоти- чески стремясь к своему максимальному значению.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Для подтверждения полученных результатов рассмотрим результаты вискозиметрических экспериментов, проведенных С. А. Коневым с рас- плавом парафина (нонодекан). Оказалось, что при температурах, близких к температуре кристаллизации парафина, значения касательного напряже-

ния τ испытывают незатухающие колебания, график которых представлен на рис. 3.15. Для этой кривой нами были вычислены корреляционная раз-

мерность ν (см. главу 1) и энтропия Колмогорова. Результаты расчетов корреляционной размерности приведены на рис. 3.16, из которого видно, что наблюдаемые хаотические колебания являются детерминированными, причем число динамических переменных, необходимых для описания рас- сматриваемого процесса, равно 4. Отметим, что вышеприведенные чис- ленные результаты были получены нами при анализе динамической систе- мы, которая также имеет четвертый порядок.

τ

144

96

48

0

Рис. 3.15. Замеры касательного напряжения

Оценка снизу для энтропии Колмогорова вычислялась по форму-

ле [62]

и оказалась равной K = 0,1, что по порядку совпадает со значением, соот- ветствующим модельной системе. Здесь Cn (r) – корреляционный интеграл (см. раздел 1.4).

Полученные нами результаты позволяют по-новому взглянуть на эффект эластичной турбулентностии и могут быть полезными при разра- ботке нетрадиционных методов обработки данных реометрических экспе- риментов.

3.9. Исследование устойчивости работы штангового насоса

При откачке маловязких жидкостей штанговым глубинным насосом возникают колебания колонны штанг, приводящие к резкому увеличению инерционных нагрузок на штангу и возникновению пульсаций давления в скважине.

Для исследования этих эффектов были проведены промысловые ис- пытания [63], в ходе которых осуществлялась запись давления P(t) при

работе штангового насоса в скважине № 116 НГДУ «Аксаковнефть»

(рис. 3.17).

Запись производилась с помощью дистанционных тензометрических датчиков давления, электронного потенциометра Н-135 и дублирующего его шлейфового осциллографа. Жидкость перекачивалась по замкнутому циклу: насос – НКТ – затрубное пространство – насос. Рабочими жидко- стями были пластовая вода (вязкость ≈1,0 мПа с), дегазированная нефть

с вязкостью ≈ 0,05 Па с и эмульсия с водосодержанием 64,5%, эффек-

тивная вязкость которой в рабочей зоне градиента сдвига составля- ла ≈ 0,54 Па с.

Из рис. 3.17 видно, что откачка воды сопровождается хаотическим изменением давления жидкости в НКТ. С увеличением вязкости жидкости пульсации давления уменьшаются. Откачка эмульсии происходит без пульсаций давления, что свидетельствует о полном затухании вибрации штанг под действием вязкого трения.