ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

проницаемость и мощность пласта, R – радиус зоны дренирования сква- жины, rc – радиус скважины, S – скин-фактор (предполагается, что P = PR при r = R).

Прямое вычисление функции H (Pr ) представляет собой нелегкую задачу, основные трудности которой связаны с заданием относительных фазовых проницаемостей нефти и газа. Однако вид этой функции можно определить и без вычислений, используя только отмеченный Вогелем факт существования универсальной зависимости.

жении некоторой критической газонасыщенности sг0 , то на границе разга-

зирования происходит скачок газонасыщенности от нуля до sг0 . При этом

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

(Предполагается, что изменением произведения объемного фактора нефти

на ее вязкость при P > Pнас можно пренебречь, считая β (Pr )ϕн (Pr ) = 1

при Pr > 1 [21].)

Для области разгазирования rc < r < r по аналогии с (5.40) имеем

Легко видеть, что угол наклона индикаторной кривой, описываемой уравнением (5.49), скачком меняется в точке P = Pнас . Действительно,

Этот слом индикаторной кривой связан со скачком газонасыщенно- сти, который, как уже отмечалось, имеет место на границе зоны разгазиро- вания.

Следовательно, предположение о гладкости индикаторной кривой, которое используется при построении композитной кривой Вогеля [18], неверно.

Отметим, что это предположение ведет к завышению прироста деби- та нефти, достигаемого при снижении забойного давления от Pнас до нуля, в 1 fн (sг0 ) раз. Поскольку относительная фазовая проницаемость нефти в области малых газонасыщенностей меняется достаточно рез-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

нормальный и логнормальный законы. Некоторое теоретическое обосно- вание этому убеждению дает центральная предельная теорема, но часто нормальная функция распределения используется только в силу удобства и привычности.

Б. Мандельброт показал, что не менее универсальным законом рас- пределения является гиперболический [25]. Гиперболические (степенные) законы распределения являются ближайшими «родственниками» фракта- лов – с этим и связана их широкая распространенность (мы уже упоминали об этом в главе 1).

5.4.1. Формы представления и свойства гиперболических зависимостей

Случайная величина X называется гиберполически распределенной,

если

хα

где Р(Х ≥ х) – вероятность того, что X ≥ x , A, α – некоторые постоянные положительные величины.

Если случайная величина дискретна, то вместо (5.51) используется

где B = A1/α , β = 1/α .

Это соотношение позволяет оценить значение случайной величины по ее рангу, т. е. оказывается еще одним примером применения порядко- вых статистик (см. раздел 5.1).

Гиперболическое распределение, представленное в виде (5.51)–(5.52) называют законом Парето, в честь итальянского экономиста Вильфредо Парето, обнаружившего, что количество людей с доходом, превышающим некоторую величину x , уменьшается с ростом x гиперболически.

Дискретный закон распределения в форме (5.53) впервые ввел Джордж Ципф для описания частоты употребления в текстах слов различ-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ной величины. Й. Корчак показал, что закону (5.53) подчиняется также распределение числа озер [25].

Согласно (5.51) при х → 0 Р(Х ≥ х)→ ∞ . Но эта расходимость не

существенна, поскольку реальные величины (доходы граждан, длина слов, размеры островов) всегда имеют ограничения снизу (и сверху). В этом смысле соотношения (5.51)–(5.53) имеют промежуточно-асимптотический характер.

Как уже отмечалось в главе 1, гиперболические зависимости мас- штабно-инвариантны. Для уточнения этого утверждения рассмотрим ус-

личным уровням рассмотрения исследуемой системы. Так, если речь идет о доходах, то функция g(x, x0 ) определяет распределение доходов среди

населения, уровень жизни которого выше предела, определяемого величи- ной x0 .

Распределение доходов будет масштабно-инвариантным, если функ- ции g(x, x0 ) при разных x0 подобны друг другу, т. е. если g(x, x0 ) зависит

не от x и x0 в отдельности, а только от их безразмерной комбина- ции х / х0 :

где z0 = ln x0 .

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

324 Глава 5

Переходя к пределу z0 → z , из (5.56) можно получить

U ′(z) = U ′(0) = const ,

что возможно, если только функция U (z) линейна:

U (z) = a + bz

или

ln λ(x) = a + b ln x ,

откуда и следует (5.51) с A = ea , α = −b .

Таким образом, гиперболическое распределение (и только оно)

В какой-то мере универсализм гиперболических распределений можно объяснить тем, что они характерны для систем, образование кото- рых контролируется процессами кластеризации. А этот механизм доста- точно широко распространен в природе [26]. Так, в социологии давно из- вестен феномен, который можно выразить словами «успех порождает ус- пех». Часто употребляемые слова становятся все более употребительными, крупные города разрастаются быстрее, часто цитируемые статьи все чаще цитируются и т. д. Все это – примеры социальной кластеризации, феноме- на, которому Р. Мертон дал название «эффект Матфея», имея в виду биб- лейское изречение «имущему дается».

Гиперболическая функция описывает резко неоднородное, асиммет- ричное распределение. Покажем это, воспользовавшись координатами Ципфа.

Пусть (х(1), x(2), ...x(N ) ) – ранжированная в порядке убывания выбор-

r =1

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Легко видеть, что величина µ представляет собой долю σ 0 , «накоп-

ленную» в результате n реализаций, а ν – соответствующая доля реализа- ций. Так, если говорить о доходах, то µ есть доля совокупных доходов,

принадлежащих ν -й части населения; если объем выборки велик, то сумму можно заменить интегралом и считать n >> 1. Тогда, в предположе- нии β < 1, получим

распределения доходов) представлен на рис. 5.19 (кривая ACB ). Этот гра- фик (так называемая кривая Лоренца) наглядно показывает неравномер- ность распределения, описываемого гиперболическим законом: уже при малых значениях ν величина µ близка к единице. Так, при ν = 0,2

µ = 0,8 . На примере распределения доходов это означает, что всего лишь

20% населения получают 80% доходов, в то время как остальные 80% имеют всего лишь 20% доходов. В более общем виде это правило, назы- ваемое принципом Парето, формулируется так: «В больших системах 80% случаев вызываются 20% причин и наоборот». Следует отметить, что граничные значения 80% и 20% достаточно условные, поскольку при дру- гих значениях β это может быть 90% и 10% или 70% и 30% и т. д.

ся от прямой АВ, тем больше неравномерность распределения, поэтому мерой неоднородности может служить величина

Следует подчеркнуть, что коэффициент Лоренца определяется по интегрированным данным, поэтому эта величина устойчива к погрешности данных, что является общим свойством всех интегральных методов (см.

раздел 2.1.3).

Ограничение β < 1, принятое нами, не является обязательным. Соот- ношения, подобные полученным выше, могут быть выведены и при β > 1, если считать выборку ограниченной (N < ∞). Правда, полученные при этом формулы будут несколько сложнее.

5.4.2. Закон Парето в оценке запасов углеводородов

Начиная с работы Крига [28], было принято считать, что распределе- ние запасов минеральных богатств, включая нефть и газ, подчиняется лог- нормальному закону. Однако в 1962 г. Б. Мандельброт показал, что это