ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Величина Wi представляет собой минимальное значение выигрыша,

достигаемого при данной стратегии i .

Часто элементы матрицы Ai j представляют собой не выигрыши, а,

наоборот, потери (платежи). В этом случае критерий Вальда будет стре- миться минимизировать максимальные потери, то есть станет минимакс- ным.

Критерий Севиджа.

Этот критерий призван несколько «смягчить» пессимизм максимин- ного критерия и сводится к замене матрицы выигрышей Ai j матрицей

упущенных доходов (то есть потерь)

Bi j = M j − Ai j ,

где M j – максимальный выигрыш, достигаемый при j -м состоянии При-

роды:

M j = max Ai j . i

Затем к матрице Bi j применяется минимаксный критерий, то есть

минимизируется величина

Si = max Bi j . j

В качестве примера действия критерия Севиджа рассмотрим матрицу выигрышей

Применение максимального критерия приводит к выбору реше- ния i = 2 с максимально возможным выигрышем $5000 . Легко, однако, видеть, что в данном случае разумнее было бы выбрать первое решение, поскольку даже в наихудшем случае выигрыш был бы не намного меньше ($3000), а в случае реализации второго состояния Природы выигрыш со- ставил бы $19000 !

Пользуясь минимаксным критерием, мы выбрали бы первое реше- ние, что более соответствует нашим интуитивным предпочтениям.

Критерий Гурвица.

Этот критерий позволяет охватить весь спектр подходов к принятию решения – от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного – и сводится к максимизации величины

Gi = α Amaxi + (1 − α ) Amini ,

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

348 Глава 5

где α – так называемый показатель оптимизма, 0 ≤ α ≤ 1, Aimax и Aimin –

максимальное и минимальное значения выигрыша на i -й строке матри- цы Ai j

Если α = 0 , то критерий Гурвица становится консервативным и его применение эквивалентно применению обычного максиминного критерия. Если α = 1, то критерий Гурвица становится слишком оптимистичным, по- скольку рассчитывает на наилучшую из наилучших альтернатив. Основы- ваясь на свой опыт, ЛПР сам выбирает надлежащее значение α из интер- вала [0; 1]. В отсутствие какой-либо дополнительной информации наиболее

разумным представляется выбор α = 0,5 .

5.6.3. Анализ результатов расчетов

В таблице 5.4 приведены значения различных критериев, рассчитан- ные по данным табл. 5.3.

Темным фоном выделены строки (решения), являющиеся оптималь- ными с точки зрения того или иного критерия. Как видим, наилучшим ре- шением, удовлетворяющим практически всем критериям, является дизайн ГРП с массой закаченного пропанта M = 22500 кг и полудлиной трещи- ны l = 130 м. Более осторожный подход (с позиций критериев Вальда и Севиджа) приводит к значениям массы M = 13000 − 22000 кг, что, соответ- ственно, приводит к меньшим значениям полудлины трещины.

Таблица 5.4

Результаты вычислений с использованием различных критериев

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Для облегчения выбора при большом числе скважин, основываясь на методы теории нечетких множеств, можно предложить формальный кри- терий выбора окончательного решения: максимизация функции принад- лежности

Применение нечеткого критерия (5.66) приводит (при критерии Гур- вица с α = 0,4 ) к заключению, что оптимальное значение массы пропанта

лежит в интервале от 22000 кг до 36000 кг, что соответствует средней по- лудлине трещины от 120 до 150 м при ширине около 8 мм.

Проведенный анализ позволяет, кроме всего прочего, наглядно пока- зать цену, которую приходится платить за пренебрежение исследованиями скважин.

В табл. 5.5 приведены элементы матрицы Севиджа

Bi j = M j − Ai j ,

подсчитанные для i = 5 ( M = 22500 кг). Эти величины определяют выго- ду, которую мы упускаем, выбирая то или иное значение полудлины тре- щины. Как видим, в наиболее худшем случае ( k = 14 мД) упущенная вы- года составляет 0,1 млн. долларов, что сравнимо со стоимостью самого ГРП. Даже среднее значение упущенной выгоды (~30 тыс. долларов) кратно превышает стоимость гидродинамических исследований скважин (~10 тыс. долларов), которые, будь они проведены, позволили бы более обоснованно выбрать полудлину трещины. Эти оценки позволяют утвер- ждать, что проведение тщательных гидродинамических исследований пе- ред каждым ГРП позволило бы выиграть около 20 тыс. долларов на сква- жину в том случае, когда ГРП проводятся массировано, (что является од- ним из условий повышения эффективности этой операции). Экономиче- ский эффект может оказаться очень большим. Так, если компания прово- дит в год около 500 ГРП, то обязательные гидродинамические исследова- ния, проводимые перед осуществлением операции, могут привести к вы- игрышу около 10 млн. долларов. Для сравнения отметим, что эта сумма

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

соизмерима с годовыми расходами некоторых крупных компаний на на- учно-исследовательские работы.

Несмотря на некоторую условность подобных расчетов, приведен- ные цифры позволяют оценить, по крайней мере, порядок потерь, связан- ных с недостатком информации.

Таким образом, в условиях неопределенности игровые подходы ока- зываются более соответствующими содержанию задач, чем методы, осно- ванные на «разыгрывании» случайных состояний природы методом Мон- те-Карло. Применение последнего требует знания вероятностей распреде- ления неизвестных параметров, а эта информация, зачастую, отсутствует.

Рассмотренные выше критерии принятия решений могут быть ис- пользованы при анализе ситуаций самого различного масштаба: от дизайна ГТМ на отдельных скважинах до составления проектов разработки круп- ных месторождений. Следует подчеркнуть, что эти методы дают намного больше, чем обычный анализ чувствительности решений относительно из- менения исходных данных. Если анализ чувствительности позволяет про- сто оценить пределы изменения выигрыша, то игровые методы предлагают одновременно и формальные алгоритмы выбора решений.

5.7. Системный анализ процессов разработки нефтяных месторождений

Как уже неоднократно отмечалось, системы любой природы, незави- симо от природы составляющих элементов и отношений между ними, под- чиняются некоторым общим закономерностям [39], знание которых облег- чает принятие решений в условиях неопределенности. В частности, важную информацию, необходимую для управления, предоставляют ис- следования универсальных сценариев развития природных систем, количе- ственных закономерностей чередования эволюционных и критических (пе- реходных) периодов.

В основе многих динамических процессов лежит экспоненциальный закон, в соответствии с которым скорость изменения характеристики x пропорциональна ее текущему значению

где k – константа роста.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Для систем, развитие которых происходит при более или менее по- стоянных внутренних и внешних условиях, экспоненциальная зависимость описывает весь процесс развития. Однако при постепенном изменении этих условий могут быть достигнуты критические значения параметров, при которых экспоненциальное развитие теряет устойчивость и в системе появляются колебания («флаги катастроф» [40]), присущие процессам кри- зисного типа. В такие моменты начинают функционировать адаптацион- ные механизмы, формирующие новые режимы экспоненциальной эволю- ции с иными значениями темпа роста.

В работе [41] неустойчивости такого типа предлагается анализиро- вать с помощью динамического уравнения с запаздывающим аргументом

где τ – характерное время запаздывания.

Поскольку с ростом системы ее инерционность возрастает, время за- паздывания τ считается возрастающей функцией времени.

Для процессов, описываемых моделью (5.67), существуют экспонен- циальные режимы развития

При постепенном увеличении времени запаздывания наступает кри- тический момент, когда неравенство (5.68) перестает выполняться. Экспо- ненциальная эволюция с темпом развития u становится неустойчивой, и включаются процессы самоорганизации, приводящие к уменьшению темпа роста. При этом вновь начинает выполняться неравенство (5.68), что обес- печивает стабильный рост до тех пор, пока увеличение τ не приведет к но- вым кризисным явлениям. В [41] показано, что в период перестройки темп

роста u уменьшается (при 10%-м «запасе прочности») до значения u = 0τ,9 .

Таким образом, величина скачка в темпах роста, которая должна иметь место при достижении временем запаздывания критического уровня, будет составлять величину

τ

На плоскости τ − u процесс развития по описанной схеме можно изобразить в виде ступенчатой линии, представленной на рис. 5.30.

В основном, этот сценарий развития соответствует представлениям Шмальгаузена, который считал, что процессы роста начинаются экспонен- циальной фазой, которая в дальнейшем переходит в степенной закон, ха- рактеризующийся убыванием константы скорости роста [42].

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

довательно, эволюция системы в этом случае самоподобна (ср. с разде- лом 5.4). Зависимость (5.72) называется аллометрической и означает, что кривая x = x(t) может быть спрямлена в координатах ln t − ln x .

Развитие, происходящее в соответствии с аллометрической моделью, перекрывает существенно более длительные интервалы времени, чем раз- витие по экспоненциальному закону. Однако диапазон действия алломет- рической модели также ограничен, поэтому в координатах ln t − ln x кривая развития делится на ряд прямолинейных участков, переходы между кото- рыми соответствуют критическим явлениям на более высоком иерархиче- ском уровне системы.

Введя переменную t′ = ln t , уравнение (5.69) при α = 1 можно пред- ставить в виде

ddxt′ = k0 x .

Для описания «сломов» аллометрической кривой нужно учесть зави- симость параметра k0 от времени. Считая, что развитие на всех уровнях

иерархии идет подобным образом, получим

dx k′ dt′ = t0′ x ,

откуда

ln x = k′ ln t′ + ln c′ ,

0

т. е. кривая роста должна быть линейна в координатах ln t − ln ln x . Подставив t′′ = ln t′ и повторив всю цепочку рассуждений, можно

получить модель еще более высокого уровня и т. д.

Описанные выше универсальные законы роста могут быть примене- ны для анализа кривых накопленной добычи нефти Vн (t) при решении за-

дач прогноза технологических показателей и выявления критических то- чек – моментов времени, соответствующих количественному изменению состояния разработки нефтяных месторождений.

На первом этапе разработки, соответствующем росту темпа отбора нефти за счет интенсивного разбуривания, кривая добычи описывается мо- делью

dVн = k0 V , dt tα н

а на заключительной стадии, характеризующейся снижением темпов отбо- ра, применима модель