ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

приводит в случае малых выборок к неустойчивости, подобной неустойчи- вости некорректно поставленных задач.

Предполагая, что класс функций, в котором ищется регрессия y(x), является параметрическим с параметрами a, задачу восстановления эмпи-

называемого функционалом среднего риска [16, 17]. Здесь P(y|x) – плот-

ность вероятности реализации значения y при заданном значении x. Как правило, вид функции P(y|x) (характеризующий статистические свойства случайных ошибок) неизвестен, поэтому на практике вместо (2.46) мини-

мизируется так называемый функционал эмпирического риска

I0 (a) = 1 ∑l (yi − F(xi ;a))2 , l i=1

построенный по случайной выборке {xi; yi}.

Показано [16, 17], что для величины функционала среднего риска

справедливые с вероятностью 1–η. Величина h называется емкостью клас- са функций F(x, a) и определяет сложность идентифицируемой модели.

В частном случае, если множество функций состоит из конечного числа N элементов F1(x, a), F2(x, a), ... , Fn(x, a), то h ~ ln N , а если рассматривается

класс линейных по параметрам функций

i=1

где {ϕi (x)} – некоторая ортонормированная система функций, то h = n, т. е. емкость класса функций (сложность модели) равна в этом случае числу ис- комых параметров n.

l

Величина h определяет относительный объем выборки. Структура

уменьшается, стремясь к единице. Функционал эмпирического риска с

l

увеличением h , как правило, увеличивается. Таким образом, существует

l

некоторое оптимальное значение h , при котором верхняя оценка среднего риска (его гарантированное значение) достигает минимума. Это значе-

l

ние h и определяет оптимальную сложность модели.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

При некоторых весьма общих предположениях могут быть получены точные оценки величины Ω [16, 17], но они оказываются малопригодными, поскольку требуют знаний о статистических свойствах случайных оши- бок ε, а эта информация, как правило, отсутствует. Кроме того, строгие верхние оценки величины Ω оказываются весьма завышенными и могут привести к слишком «осторожным» по отношению к увеличению сложно- сти модели алгоритмам.

Поэтому на практике эти оценки используются лишь для того, чтобы l

h

ходя из априорных соображений или же подбираются на основе ретро- спективного анализа опыта решения подобных задач.

Так, при восстановлении одномерной регрессии в классе функ-

При проведении расчетов задаются некоторыми значениями n, при

каждом n методом наименьших квадратов определяют параметры а, а за- тем вычисляют I0 (а) и по формулам (2.47)–(2.49) – функционал среднего

риска Im(а).

Оптимальным признается то значение n, при котором величина Im (a) минимальна.

Пример. Обработка данных вискозиметрических исследований.

При обработке данных вискозиметрических экспериментов с реофи- зически сложными средами оценки реологических параметров часто ока- зываются неустойчивыми относительно малых экспериментальных оши- бок. Это может быть связано, в частности, с тем, что достоверные резуль- таты могут быть получены лишь в ограниченной области значений скоро- сти сдвига, поскольку при слишком малых и слишком больших значениях скорости сдвига в неньютоновских средах могут иметь место явления, вносящие погрешности в измерения и искажающие истинную картину те- чения в рабочем зазоре ротационного прибора.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Качество решения задач восстановления зависимостей при ограни- ченном объеме выборки зависит не только от точности аппроксимации ис- ходных данных, но еще и от таких факторов, как гладкость аппроксими- рующей функции, ее «сложность» и т. д. Ниже приводится алгоритм обра- ботки данных реологических экспериментов, позволяющий учесть это об- стоятельство и использовать априорную информацию для повышения ус- тойчивости результатов в условиях малых выборок.

Пусть результаты реологических экспериментов представлены в ви- де выборки γ&1,τ1,γ&2 ,τ 2 ;K;γ&l ,τ l , где τ i – значение касательного напряже- ния при скорости сдвига γ&i (i = 1,2,K,l), l – объем выборки. (Для примера, см. данные вискозиметрического исследования нефти месторождения

f – некоторая заданная функция, содержащая неизвестные параметры a .

Таблица 2.3

Данные вискозиметрических исследований

В соответствии с методом структурной минимизации среднего риска зададим множество моделей различной сложности (структуру). Ограни- чимся рассмотрением следующих четырех уравнений.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

150,00

10–1 Па

120,00

Рис. 2.6. Определение реологической модели по методу структурной минимизации среднего риска

Значения параметров a = a(α ) , минимизирующие функционал Φα , существенно зависят от величины α . При α =0 кривая τ = f (γ&, a) наибо- лее близка к экспериментальным точкам. Однако это приводит к тому, что все ошибки эксперимента при обработке исходных данных сохраняются. Увеличение α приводит к «сглаживанию» этих ошибок, но ценой того, что отклонение экспериментальных точек от кривой τ = f (γ&, a) становится

больше. «Оптимальное» значение α определяется из условия

I0 (a(α ) )≈ σ 2 ,

где σ – среднеквадратичное отклонение измерений τ (предполагается, что оценка величины σ известна).

В ходе расчетов вначале задается некоторое малое значение α = α 0 . Из решения систем уравнений

∂ Φα = 0

∂ a

определяются соответствующие значения параметров a(α 0 ). Затем опреде-

ляется невязка I0 (a(α 0 ) ), которая сравнивается с величиной σ 2 . Ес-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

реологическую модель исследуемой среды.

В качестве примера вновь рассмотрим данные вискозиметрического исследования нефти месторождения Кюрсангя, приведенные в табл. 2.3

(среднеквадратичное отклонение σ ≈ 0,4 10−1 Па). Для описания реологи-

ческой кривой выберем трехпараметрическую модель Гершеля–Бакли

τ = τ 0 + Kγ& m .

Известно, что величина предельного напряжения сдвига τ 0 , полу- чаемая из опытов, часто является аппроксимационной [19]. Для учета этой априорной информации выберем стабилизирующий функционал в ви-

де W = τ 02 . Тем самым конструируется алгоритм обработки вискозиметри- ческих данных, с большой «неохотой» признающий наличие у изучаемого

определяется градиентным методом (как и выше, при определении функ- ционала эмпирического риска учитывались неполные данные – только шесть точек). При различных α были получены значения реологических параметров τ 0 , m и невязки I0 , приведенные в табл. 2.5. Поскольку

σ 2 ≈ 16 10–2 Па2, то счет прерывается при α =0,3.

Поскольку значение τ 0 , соответствующее α =0,3, мало по сравнению

со среднеквадратичным отклонением σ, можно считать, что предельное напряжение сдвига отсутствует. Этот вывод соответствует результату, по- лученному выше методом структурной минимизации среднего риска.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

2.4. Нечеткие алгоритмы решения обратных задач

Есть правила для выбора решения, но нет правила для выбора этих правил.

Из сборника «Физики шутят»

Человек, имеющий одни часы, твердо знает, который час. Человек, имеющий несколько часов, ни в чем не уверен.

Закон Сегала (Из энциклопедии афоризмов Н. Л. Векшина)

Многие практически важные задачи сводятся к поиску экстремума некоторого функционала и могут быть сформулированы в следующей об- щей форме.

Пусть B – некоторое подмножество топологического пространства, на котором определен функционал I(x), ограниченный снизу на непустом

На практике, как правило, точный функционал неизвестен, а вместо него имеются некоторые «приближенные» функционалы Iε , аппроксими-

рующие I с некоторой погрешностью ε : I − Iε ≤ ε .

Задача минимизации (2.50) называется корректно поставленной на множестве А допустимых приближенных функционалов, если ее решение не только существует и единственно, но и обладает свойством устойчиво-

сти, т. е. при уменьшении погрешности приближенное решение xε* стре-

мится к точному решению x* : xε* → x* при ε → 0 , xε* = arginf{Iε (x): x B0}.

Однако это условие часто не выполняется, поэтому актуальной явля- ется проблема получения устойчивых приближенных решений некоррект- но поставленных задач.

Как уже отмечалось выше, для регуляризации такого рода задач на их решения накладываются дополнительные ограничения, вытекающие из некоторых априорных соображений. Не ограничивая общности, можно считать, что эти ограничения сводятся к минимизации некоторого функ- ционала Ω(x) (стабилизатора). Поскольку минимум функционала достига-

ется, как правило, на элементе x**, отличном от x* , то мы имеем типич- ную двухкритериальную задачу в следующей нечеткой постановке: «найти

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

такие x, при которых Iε (x) и Ω(x) становятся как можно меньше». Обыч-

но эту задачу сводят к однокритериальной, вводя модифицированный сгла- живающий функционал (раздел 2.2):

(не теряя общности, можно считать, что inf I = 0).

Однако при решении практических задач информация о величине «ошибки» зачастую отсутствует. К тому же, кроме условия (2.52), могут

быть введены и другие, не менее разумные принципы выбора α. Опыт ре- шения реальных (а не модельных) задач показывает, что определение па- раметра регуляризации α является трудно формализуемой процедурой, имеющей субъективный характер.

Если априорная информация столь сложна, что ее формализация требует использования многих регуляризаторов Ωi (i = 1, 2, ..., n), то сгла-

живающий функционал должен иметь вид

Mεα [x]= Iε (x) + α1Ω1 + α 2Ω2 + ... + α nΩn .

Вэтом случае одного условия (2.52) не хватит для определения всех параметров регуляризации αi .

Вконечном счете, затруднения, возникающие при подборе α, вызва- ны тем, что сведение многокритериальных задач к однокритериальным всегда связано с соображениями субъективного характера, а существую- щие ныне алгоритмы явным образом это никак не учитывают.

Вто же время теория решения многокритериальных задач достаточ- но хорошо развита, поэтому целесообразно рассмотреть возможные при- менения ее результатов для решения некорректно поставленных задач.

Как известно, анализ многокритериальных задач не приводит к вы- делению единственного решения (минимизирующего элемента), а сводит- ся к построению множества Парето – совокупности решений, характери- зующейся тем, что ни для одного из них не существует доминирующего (лучшего по всем критериям сразу) решения [20]. Окончательный же вы-

бор того или иного решения из множества Парето должен осуществить эксперт (лицо, принимающее решение), исходя из своего опыта, интуиции или привлекая какие-то другие соображения.

Однако в целях автоматизации процессов обработки эксперимен- тальной информации необходимо выработать некоторые формальные пра- вила решения некорректных задач, применяемые без участия человека.

Вэтом случае целесообразно использовать методы теории нечетких мно- жеств, поскольку сама формулировка многокритериальных задач имеет нечеткий, расплывчатый характер.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

126 Глава 2

Использование операции пересечения в форме (3.54) часто приводит (как и все максиминные критерии) к слишком пессимистическим алгорит- мам принятия решения. Поэтому часто оказывается целесообразным при-

нятие более «гибкого» определения:

µc (u) = (µ A1 (u), µ A2 (u), ..., µ An (u))1n .

б) Объединение нечетких множеств A1, A2, ..., An соответствует ло-

Рассмотренные нами операции над нечеткими множествами облег- чают формализацию многокритериальных задач. Так, решение задачи ми- нимизации критериев I1, I2, ..., In может быть сведено к максимизации

функции принадлежности

µ = (µ1( I1), µ2 (I 2 ), ..., µn (I n ))1n ,

где i (Ii ) – функция принадлежности нечеткого множества «малые Ii », i = 1, 2, ..., n.

2.4.2. Нечеткие постановки некорректных задач

Рассмотрим задачу минимизации по аргументу функционала Iε (x),

неустойчивую относительно малых погрешностей ε. Предположим, что для обеспечения устойчивости ее решения привлекаются некоторые до- полнительные сведения априорного характера, формализованные в виде требования минимальности функционалов I1(x), I2(x),..., In(x). Таким обра- зом, поиск устойчивого решения некорректной задачи сводится к решению многокритериальной задачи минимизации n+1 функционалов Iε, I1, I2,..., In.