ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Для описания динамики падения пластового давления мы вначале использовали модель (2.61) с а3 = 0 , т. е. учитывали только время задерж- ки. В табл. 2.11 приведены значения времени задержки θ и соответствую- щие этим временем значения нормированного отклонения расчетных кри- вых от экспериментальных (критерия Тейла).

Как видим, наименьшее значение критерия Тейла достигается при θ = 16∆t = 8 годам. При этом полученные оценки запасов газа равны 277,6 млрд м3. Отметим, что результаты расчетов устойчивы по отноше-

нию к небольшим изменениям θ : при изменении времени задержки от 13 ∆t до 18 ∆t значения Q∞ меняются всего лишь от 269 до 280 млрд м3.

Прогнозная кривая падения давления (при темпах добычи 10 млрд м3 в год) приведена на рис. 2.7.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Учет в (2.61) времени запаздывания а3 приводит практически к тем же результатам.

информация по оценке запасов приведена в табл. 2.12.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

восстановления давления (КВД) на забое скважины. Суть метода заключа- ется в остановке скважины, регистрации зависимости забойного давления от времени и последующем решении обратной задачи по определению фильтрационных характеристик пласта. Задача интерпретации КВД давно

перешла в разряд классических, методы ее решения в различных постанов- ках хорошо известны и широко используются на практике [24–27].

Однако при применении этих методов возникают методические трудности, которые обычно не замечают или замалчивают. Дело в том, что очень часто обратная задача определения фильтрационных характеристик пласта по КВД оказывается некорректно поставленной: ее решения неус- тойчивы относительно ошибок, которые неизбежно содержатся в замерах. В частности, неустойчивость проявляется в условиях малых выборок, ко- гда в координатах метода удается спрямить только небольшой участок КВД. Последнее может быть связано, например, с тем, что не удается обеспечить стационарный режим работы скважин, окружающих исследуе- мую, на весь период проведения исследования. Изменения режимов рабо- ты скважин ближайшего окружения приводят к появлению дефектных участков КВД, которые следует исключить из анализа. Очень часто прихо- дится также обрабатывать так называемые «недовосстановленные» КВД, полученные в экспериментах, прерванных по техническим причинам или же из-за желания уменьшить потери нефти вследствие простоя скважины.

В настоящем разделе обращается внимание на то, что обязательным этапом обработки КВД является проверка полученных результатов на ус- тойчивость. Предложены регуляризирующие (повышающие устойчивость) алгоритмы интерпретации КВД, основанные на известных методах реше- ния некорректно поставленных задач.

2.6.1. Неустойчивость результатов интерпретации КВД

На рис. 2.8 приведена кривая восстановления давления снятия, на

скв. 1139 Приобского нефтяного месторождения (ОАО «Юганскнефте- газ»).

По методике МДХ (Миллер, Дэйс, Хатчинсон) при достаточно боль- ших временах динамика забойного давления P(t) описывается уравнением

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

В дальнейшем мы будем для простоты опускать черточку над без- размерными величинами.

Согласно (2.63) в полулогарифмических координатах lnt − ∆P гра- фик КВД представляет собой прямую линию, тангенс угла наклона кото- рой определяет величину a , а отрезок, отсекаемый прямой на оси ∆P , – величину b . На практике, в координатах lnt − ∆P спрямляется только не- который участок КВД, через который и проводится прямая. Величины a и b определяются методом наименьших квадратов (МНК) путем миними- зации отклонения прямой (2.63) от точек спрямляемого участка (невязки).

На рис. 2.9 приведен график рассматриваемой нами КВД (рис. 2.8) в размерных координатах lnt − ∆P . Прямая 1 на этом рисунке проведена ме- тодом наименьших квадратов через спрямляемый участок AB. Определив параметры a и b этой прямой, можно, казалось бы, оценить фильтрацион- ные характеристики пласта и считать задачу решенной.

Однако даже из рисунка видно, что полученные при этом результаты будут очень неустойчивыми, поскольку прямую приходится проводить че- рез широкое «облако» точек малой протяженности. Указанное на рисунке положение прямой 1 есть всего лишь случайный результат, полученный при данной случайной реализованной выборке данных. Если бы была сня- та еще одна КВД, экспериментальные точки из-за ошибок замеров могли бы расположиться иначе, и это привело бы к совершенно другой прямой.

Рис. 2.9. Результаты численного эксперимента по наложению «шума»

Для того чтобы смоделировать эту ситуацию нами, был проведен ма- тематический эксперимент, в ходе которого исходная выборка заме- ров {∆P(ti )} заменялась на выборки, полученные путем наложения на пря- мую 1 случайных «шумов». При этом методом Монте-Карло моделирова- лись равномерно распределенные ошибки величиной порядка 1%.

На рис. 2.9 прямыми 2 и 3 ограничена область, в которой лежат пря- мые, полученные по таким модельным выборкам. Как видим, малые ошиб- ки в определении ∆P приводят к значительным ошибкам в определении

фильтрационных параметров пласта (например, разброс значений ε со- ставляет 200%).

Если обратиться к расчетным формулам (2.66), то становится ясно, что отмеченная неустойчивость вызвана малостью знаменателя Dx , т. е. малостью длины спрямляемого участка. Малые ошибки, содержащиеся в числителях уравнений (2.66), возрастают за счет деления на величину Dx , близкую к нулю. Иными словами, желание провести прямую через «обла- ко» точек приводит к плохо обусловленной системе уравнений.

2.6.2. Регуляризирующий метод обработки КВД

Итак, задача интерпретации КВД по методу МДХ является некор- ректно поставленной. Для повышения устойчивости ее решения необхо- димо привлечь методы регуляризации некорректных задач, заключающие- ся в том, что на искомые параметры накладываются дополнительные огра- ничения, вытекающие из некоторых априорных соображений.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

144 Глава 2

При обработке КВД в качестве такой априорной информации могут выступать оценки величины коэффициента гидропроводности, полученные предварительно другими методами. Например, коэффициент гидропровод- ности можно рассчитать, оценив среднюю проницаемость пласта по дан- ным геофизических исследований и отборам керна. Полезную информа- цию могут дать также данные нормальной эксплуатации скважины (гидро- проводность можно оценить по формуле Дюпюи, зная дебит и задавшись некоторыми примерными значениями депрессии и скин-фактора).

Пусть ε 0 – предварительная (размерная) оценка коэффициента гид- ропроводности, полученная одним из перечисленных выше методов. Эта информация может быть формализована в виде требования минимизации функционала

найти такие значения a и b , при которых функционалы (2.65) и (2.67) ста- новятся как можно меньше. Переходя к однокритериальной постановке, сведем эту проблему, согласно разделу 2.2, к минимизации регуляризи-

рующего функционала

M (a,b) = I (a,b) + α Ω(a),

где α – параметр регуляризации (α > 0 ).

Ясно, что чем больше значение α , тем более устойчивым является

Как видим, в знаменателях дробей появилось положительное чис- ло α , что устраняет деление на малое число Dx и делает задачу устойчи- вой.

Как уже отмечалось в разделе 2.5, описанный алгоритм устойчивой оценки параметров можно назвать регуляризирующим методом наимень- ших квадратов (РМНК).

Величина α определяется из принципа невязки

(~ ~)≈

(~ ~)

Iα a,b DP ,

где Iα a,b – значение невязки (2.65), полученное при данном значе- нии α , DP – дисперсия ошибок измерения давления.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Для определения значения параметра регуляризации может быть предложен и другой подход. Задаваясь различными возрастающими значе- ниями α , при каждом из них проводят описанный выше математический эксперимент, рассматривая разные выборки замеров {∆P(ti )}, «приготов- ленные» методом Монте-Карло, и оценивая соответствующий разброс ис- комых параметров. За оптимальное значение принимается значение α , при котором относительная ошибка определения a и b достигает заданной ве- личины. Такой алгоритм определения параметра α может быть назван

принципом Монте-Карло.

Пример расчетов

Изложенная методика была использована при интерпретации рас- смотренной выше КВД.

Привлекая данные ГИС и информацию о вязкости нефти, мы полу- чили априорную оценку гидропроводности ε 0 = 3,80 м3/Па с. Дебит сква- жины в пластовых условиях до ее остановки был равен Q0 = 70 м3/с. Мощ- ность пласта составляет h = 8,2 м, сжимаемость пластовой системы

β = 12 10−4 МПа–1. При обезразмеривании исходных данных мы положи- ли ε = ε 0 . В табл. 2.13 приведены результаты применения РМНК к обра- ботке КВД при различных значениях α .

В четвертом и пятом столбцах этой таблицы приведены относитель- ные ошибки определения величин ε и S . Здесь σ ε и σ S – среднеквадра- тичные отклонения от средних для оценок ε и S , полученные в числен- ных экспериментах по наложению 1%-го «шума» на исходные замеры. В шестом столбце приведена величина