ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ценной информации. Однако осуществление полноценных замеров иногда может быть связано с затруднениями.

Предположим, что у нас имеется возможность беспрепятственно из- мерять дебит нефти в динамике, но имеются всего лишь несколько прямых замеров расхода газа. В этой ситуации остальные значения Vг можно оце- нить методами порядковых статистик по замерам дебита нефти. Эта воз- можность связана с тем, что в окрестности оптимального режима работы функция Q = Q(Vг ) монотонно возрастает, т. е. дебит нефти может послу- жить компаратором для ранжирования неизвестных значений расхода газа. Известен и закон распределения случайных колебаний Vг – он нормаль- ный.

Приведем модельный пример, иллюстрирующий практическую реа- лизацию этой идеи. В табл. 5.1 приведены замеры расхода газа и соответ- ствующих дебитов нефти, полученные в ходе эксплуатации одной из сква- жин месторождения Грязевая Сопка [5]. Исходная выборка отранжирована по значениям дебита нефти Q .

Забудем на время о том, что значения Vг нам известны. Проверим,

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Обращение нормальной функции распределения с E = 0 и σ = 1

производится с помощью таблиц математической статистики (см., напри-

~

мер, [6]). Полученные в результате расчетов значения Er приведены в пя- том столбце табл. 5.1 (крайние статистики отброшены как непредстави- тельные). Математическое ожидание E и среднеквадратичное отклоне- ние σ расхода газа определяется из системы вида (5.4):

E − 0,80σ = 550,

E + 0,63σ = 690,

откуда

Е = 628 м3/сут., σ = 98 м3/сут.

В последнем столбце табл. 5.1 приведены восстановленные значения

Сравнение действительных и расчетных значений расхода газа (см. рис. 5.2) показывает удовлетворительное соответствие оценок реальным замерам (ошибка не более 3%).

Пример 2. Точные измерения грубыми приборами

Итак, при безэталонном взвешивании камней из кучи щебня требу- ется определить веса хотя бы двух из них. Даже для этих двух замеров, ес- ли мы хотим обеспечить необходимую точность, нужен целый набор гирь разного веса: от килограммовых до граммовых. А что если у нас всего две гири, например, весом 5 кг и 0,5 кг? Порядковые статистики могут помочь и в этом случае. И не нужно пытаться найти камни, веса которых совпадут с весами имеющихся гирь: вероятность найти такие камни крайне мала. Нужно просто добавить гири в кучу камней, чтобы они тоже приняли уча- стие в ранжировании. После упорядочивания они сами и сыграют роль двух опорных «камней». Если число камней в выборке достаточно велико, то точность измерений будет сколь угодно большой.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Vгр, м3/сут.

700

650

600

550

500

Рис. 5.2. Сравнение расчетных и действительных значений расхода газа

Этот простой пример показывает, что идеи безэталонного измерения могут быть использованы для повышения точности замеров с помощью приборов с грубой шкалой.

Пример 3. Определение проницаемости по данным геофизического исследования скважин (ГИС)

Основные трудности при создании трехмерных гидродинамических моделей нефтяных месторождений связаны с определением распределения проницаемости по глубине. Гидродинамические исследования скважин и данные нормальной эксплуатации (т. е. данные о продуктивности скважи-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ны) позволяют оценить только среднюю по мощности пласта проницае- мость

km = 1h h∫ k(z)dz ,

0

где k(z) – проницаемость горных пород на глубине z (отчет идет от по- дошвы пласта), h – толщина пласта.

Восстановить функцию k(z) по данным исследования кернов невоз- можно, поскольку это требует огромного объема лабораторных исследова- ний, да и обеспечить достаточно полный вынос керна затруднительно.

Прямое определение проницаемости по каротажным кривым, сни- маемым в ходе геофизических исследований скважин, также невозможно, поскольку они позволяют оценить только объемные характеристики (такие как пористость, насыщенность), а проницаемость является динамической, не объемной характеристикой. В этом смысле каротажные кривые похожи на мгновенный фотоснимок: если сфотографирован бегущий по улице че- ловек, то по одному снимку можно оценить его массу (объемную характе- ристику), прикинув рост бегуна путем сравнения с высотой домов, но ско- рость бега (динамическую характеристику) можно найти, только оценив пройденную дистанцию по двум снимкам, снятым в разные моменты вре- мени.

Несмотря на это, предпринимаются попытки оценить проницаемость по каротажным кривым косвенным путем, определив сначала по данным

где A, α и β – эмпирические коэффициенты [7].

Однако погрешность таких оценок весьма велика. Тем не менее кор- реляции, подобные (5.6), верно отражают качественную тенденцию (рост проницаемости с увеличением пористости и уменьшением насыщенности связанной водой). Это наводит на мысль использовать соотношения ви- да (5.6) в качестве компараторов, с помощью которых можно ранжиро- вать неизвестные значения проницаемости. А для количественной оценки проницаемости можно использовать метод безэталонных измерений.

Принято считать, что проницаемость является случайной величиной, распределенной по логнормальному закону. Эта информация может быть использована при вычислении математических ожиданий порядковых ста- тистик. Неизвестные параметры распределения (математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение), свои для каждой скважины, могут быть

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

определены по замерам проницаемости керна, а также по значениям сред- ней проницаемости km , оцененным исходя из данных гидродинамических исследований или нормальной эксплуатации скважин. Детали расчетов, в силу их очевидности, мы здесь не приводим.

5.1.3. Безэталонная идентификация

Многие задачи идентификации можно представить в виде проблемы «черного ящика», на вход которого подается сигнал x , а на выходе наблю- дается отклик y . Измеряя различные значения xi и соответствующие им значения yi , по выборке {xi , yi}, i = 1, 2,..., n , восстанавливают функцио- нальную зависимость y = ϕ (x) (см. рис. 5.3 а). Как видим, в классической схеме идентификации предполагается наблюдаемость (измеряемость) входа и выхода.

Однако описанная выше процедура безэталонных измерений позво- ляет поставить совершенно новую задачу идентификации: определение ха- рактеристик «черного ящика» с ненаблюдаемым входом [1].

Это возможно при выполнении следующих двух условий:

-входной сигнал x представляет собой случайную величину с извест-

ным законом распределения (см. рис. 5.3 б);

-зависимость y = ϕ (x) монотонно возрастает или монотонно убывает.

Последнее условие означает, что величина y может служить компа- ратором, необходимым для ранжирования значений x .

измерительный прибор

"черный ящик"

а)

б)

Рис. 5.3. Схема идентификации

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

296 Глава 5

Эта зависимость может быть использована для расчета объема газа, потребного для обеспечения заданного дебита нефти. Отсюда может быть получен еще один результат: из вида зависимости Q = Q(Vг ) следует, что рабочая точка находится далеко от той области, где функция Q(Vг ) имеет экстремум. Поэтому можно рекомендовать переход к новому рабочему режиму с большим расходом газа (около 800 м3/сут.).

5.2. Учет априорной информации с помощью Паде-аппроксимаций

При построении приближенных глобальных решений уравнений час- то используют метод продолжения функций, локально («в малом») удовле- творяющих этим уравнениям. В великолепной книге И. В. Андрианова и Л. И. Маневича [8] показано, что эффективным инструментом продолже- ния решений являются Паде-аппроксимации, определение которых, без излишней строгости, можно дать следующим образом.

Пусть

j=0

коэффициенты αi , β j которой подбираются таким образом, чтобы члены разложения (5.10) при x → 0 и/или x → ∞ совпадали с членами разложе- ния (5.8) и/или (5.9) (при этом число членов, остающихся в разложениях,

определяется общим числом независимых неизвестных коэффициентов α и β ).

Опыт показывает, что переход к дробно-рациональным функциям позволяет более адекватно учесть априорную информацию об особенно- стях и асимптотиках изучаемых зависимостей. Приведем несколько при- меров, показывающих, как Паде-аппроксимации позволяют провести эф-

фективные расчеты «на пальцах» и восстановить информацию «из ниче- го».