Добавил:

guap4736_vkclub152685050 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.08.2019

Размер:

8.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3627 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

	Глава 4	267
	r
A	1	C
		σ
σ1		σ2
	B
	Рис. 4.21. D-разбиение

Соответствующее	характеристическое				уравнение получается
из (4.15) заменой ε на ε 0 = ε (1 − n20 )2 , σ на σ 0 = σ f , r на
	r0 = [νλ(1− n20 )2 − σ ]				f ,
где		1+ (1− s)ns

	f =	10		.
			(1+ ns )2
		10
Для простоты рассмотрим случай малых µ, когда n10 определяется
выражением (4.14) и 1 – n20 ≈ 1. При этом
ε 0	= ε , σ 0	=	− σ [(s − 1)(r − 1)− 1]			,

			r2

r0 = − (s − 1)(r − 1)− 1. r

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

268	Глава 4
Из рис. 4.21 следует, что если		σ 0 < σ1,	σ 0 > σ 2 или r0 < rm ,
где rm = Ψ(0,ε ,τ ), то	стационарное	решение (n10, n20) неустойчиво.
При σ1 < σ < σ 2 точка	равновесия O1	устойчива,	если r0 > Ψ(σ 0,ε ,τ ),
и периодически неустойчива, если r0 < Ψ(σ 0,ε ,τ ).
Численные расчеты показывают, что при переходе через границу пе-

риодической неустойчивости, вследствие увеличения значения r, вначале
возникают периодические колебания n1		(t), n2		(t), а затем через каскад би-
фуркаций удвоения периода – хаотические колебания.
Поскольку, как легко видеть,
	α
	α
	δ G
r = σ	δ G		− 1 ,
	0

то при постоянных σ , α и δ все эти бифуркации связаны с уменьшени- ем G0 – расхода в отсутствие зародышей. Поэтому при проведении расче-

тов фиксировались значения величин v , σ , λ1 = λε и варьировался пара-

метр b = 1 = δ G0 . Оказалось, что при уменьшении расхода после потери

ε γ

устойчивости точки равновесия O1 вначале возникают периодические ко- лебания величин n1, n2, а затем через каскад бифуркаций удвоения перио- да – хаотические колебания. Так, численное интегрирование (4.13) при τ = 5, N = 5, v = 20, σ = 0,5, λ1 = 1 показало, что при b = b0 ≈ 8,2 проис-

ходит переход от точки равновесия О1 к предельному циклу. В точ- ках b1 ≈ 6,5 , b2 ≈ 5,58, b3 ≈ 5,38 происходят бифуркации удвоения перио-

да, которые завершаются переходом к хаотическому движению в точке сгущения b = b∞ ≈ 5,31. Для примера на рис. 4.22 представлена зависи-

мость G = G(t), соответствующая хаотическим колебаниям, возникающим при b = 5,25.

Из полученных выше результатов следует, что при достаточно больших значениях G0 накопления зародышей на стенках не происходит.

При уменьшении расхода система переходит в новое стационарное состоя- ние, характеризующееся большим значением пропускной способности трубки. Дальнейшее уменьшение расхода приводит к возникновению вна- чале периодических, а затем хаотических колебаний пропускной способ- ности. Эти выводы находятся в согласии с приведенными выше экспери- ментальными данными.

Расчеты показывают, что периоды автоколебаний порядка τ. По-

скольку характерные времена изменения пропускной способности трубы составляют 30–60 мин (см. рис. 4.20), то такой же порядок должно иметь

время роста зародышей. Характерное время диффузионного прито-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

			Глава 4	269
		R2
ка τ D	~	0	, где R0 – радиус зародышей, D – коэффициент диффузии мо-
ка τ D	~	D	, где R0 – радиус зародышей, D – коэффициент диффузии мо-
		D	в жидкости. Так как D ~ 10−9
лекул	газа		в жидкости. Так как D ~ 10−9	м2/с, то τD ~ 103 с лишь

при R0 ~ 10–3 м. Оценки радиусов зародышевых пузырьков газа дают на- много меньшие значения [1], следовательно, скорость роста зародышей лимитируется не скоростью диффузии.

По всей видимости, переход молекулы газа из растворенного состоя- ния в стабильный зародыш требует преодоления некоторого потенциаль-

ного барьера U, что и уменьшает скорость роста зародышей. При этом

τ ~ ekБТ ,

где kБ – постоянная Больцмана, Т – температура.

1,3

1,1

0,9

0,7

Рис. 4.22. Хаотические колебания расхода

Полученные результаты могут найти широкое применение при кон- троле и управлении процессами медленного течения газожидкостных сис- тем при давлении выше давления насыщения. Отметим, в частности, тот факт, что конструктивные особенности некоторых турбинных расходоме- ров таковы, что в них образуются «застойные» зоны с пониженной скоро- стью течения нефти. При этом могут возникнуть колебания численностей зародышей газа, что, в свою очередь, может привести к колебаниям коэф- фициента преобразования расходомера. Анализ рассмотренной выше мо- дели может позволить выработать рекомендации по устранению нежела- тельных явлений такого рода.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

270

Глава 4

4.5. Исследование устойчивости фильтрации жидкостей с зародышами газа

В настоящем разделе выведены уравнения, описывающие нестацио- нарную фильтрацию газожидкостных систем в предпереходных условиях. Показано, что если скорость образования зародышей газа достаточно ве- лика, то стационарные режимы фильтрации могут стать неустойчивыми. При этом возникают периодические автоколебания, усложнение которых может привести к детерминированному хаосу.

Анализ экспериментальных данных, приведенных в разделе 4.2, по- зволяет предположить, что при движении газожидкостной смеси в направ- лении уменьшения давления происходит образование и рост микрозаро- дышей газа, часть из которых может быть вынесена фильтрационным по- током, а часть скапливается в порах, изменяя фильтрационные характери- стики среды.

Уравнение неразрывности записывается в виде

mβ 0	∂ p	= −	∂υ	,	(4.17)
	∂ t		∂ x

где m – пористость, β0 – сжимаемость пористой среды, υ – скорость фильт- рации, определяемая законом Дарси

υ = − k(s) ∂ p .

µ ∂ x

Здесь µ – вязкость жидкости, k(s) – коэффициент проницаемости,

зависящий от s – концентрации зародышей газа, адсорбировавшихся на стенках пор. Для простоты зависимостью вязкости µ от концентрации за-

родышей в объеме жидкости пренебрегаем.

Изменение числа микрозародышей определяется уравнением

∂ s	= −α s + q ,	(4.18)
∂ t

где α – коэффициент, определяющий скорость выноса микрозародышей, q – скорость их воспроизводства.

Будем считать, что уже существующие зародыши являются центра- ми, на которых со скоростью, пропорциональной скорости уменьшения давления, образуются новые зародыши. Учитывая также время τ , необхо- димое для роста и перераспределения микрозародышей, получим соотно-

шение
q(x,t) = −αs(x,t − τ ) dp(x,t − τ )	,	(4.19)
dt

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Глава 4

271

где a – коэффициент пропорциональности, dp								– скорость изменения дав-
						dt
ления, определяемая выражением
dp		=	∂p	+ υ		∂p	.			(4.20)
dt			∂t
				m ∂x
Первый член суммы (4.20) обычно мал [13], поэтому мы будем в
дальнейшем им пренебрегать.
Из (4.17)–(4.20) следует, что фильтрация газожидкостных систем с
микрозародышами газа описывается системой уравнений
				∂				∂ p
mβ0	∂ p =				k(s)				,	(4.21)
				∂ x				∂ x
		∂ t			µ

∂ s

+ αs =

∂ p

(4.22)

∂ t

ϕ (s)

∂ x

α s k(s)

где ϕ (s) =

[q]

= q(t − τ ).

m µ

Рассмотрим стационарные решения системы (4.21)–(4.22), удовле-

творяющие граничным условиям

x=0 = p1 ,

x=l = 0,

(4.23)

и устойчивость этих стационарных решений.

Положив

∂ p

= 0,

∂ s

= 0

, получим из (4.21)–(4.22)

∂ t

k(s) dp

= −υ0

= const ,

dp 2

α s = ϕ (s) .

Эта

система

имеет

очевидное

решение

s = s0 = 0 ,

(x)

p = p

= p 1

−

которому соответствует значение скорости фильт-

рации υ0

= k(0)

. Стационарные значения s,

отличные от нуля, опреде-

lµ

ляются из уравнения

k(s) = aυ02 µ .

(4.24)

Если уравнение (4.24) имеет решение,

то стационарные решения

системы (4.21)–(4.22) не единственны. Они представляют собой простран- ственные структуры, состоящие из «доменов» – областей с различными значениями s = si = const , характеризующихся постоянным градиентом

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

272 Глава 4

давления p =	αsi	. Такие структуры рассматривались ранее в рабо-
i	ϕ (si )
i
тах [14, 15]. Граничные условия (4.23) выполняются, если
		− ∑ p l = p		∑l
		− ∑ p l = p		∑l	= l	,
		i i	1	i
		i		i

где li – суммарная протяженность «доменов» со значениями s = si. Поскольку нашей целью не является рассмотрение всех возможных

случаев, конкретизируем вид функции k(s), приняв k(s) = k0 [exp(− γ sn )+ G] ,

где γ , n, G, k0 – положительные константы. Предполагается, что фильтра-

ция происходит в области давлений, характеризующихся уменьшением

проницаемости при понижении давления (раздел 4.2). Легко видеть, что при этом уравнение (4.24) может иметь только одно решение, которое мы

будем обозначать через s1.

Проведем линейный анализ устойчивости стационарных режимов

фильтрации с однородным по x			распределением микрозародышей. Пусть
s′ = s − si ,	p′ = p − p0 (x) –	малые отклонения от стационарных значений
(i = 0 или	1). Переходя к		безразмерным					переменным,	получим
из (4.21)–(4.23)
	λ	∂ p′ = k		(s	)∂2 p′	− k′	(s	)∂ s′ ,	(4.25)
		∂ t	1	i	∂ x2	1	i	∂ x

∂ s′ + s′ = Α

[ϕ ′

)s′ −

2ϕ

)∂ p′

∂ t

∂ x

p′

x=0 = p′

x=1 = 0 ,

x →

t →

τ →

t =

s′

p′

s′ →

s = γ −1/ n ,

p′ →

(s)

= exp(− sn )+ G ,

(s) = s k (s),

mµβ

λ =

αmµl2

k0t*

где λ – безразмерное время пьезопроводности.

Разложив функции s′ и p′	в ряды Фурье
∞	s′ = Y0 (t) +	∞
p′ = ∑ X j (t) sin(µ j x),	s′ = Y0 (t) +	∑Yj (t) cos(µ j x),
j=1		j=1

(4.26)

(4.27)

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Глава 4

273

где µ j =

Z j

j π , получим из (4.25) и (4.26)

dY0 (t)

+ Y0 (t) = rY0 (t − τ ) ,

dZ j (t)

+ Z

(t) = k′

(s )Y

(t) ,

dYj (t)

+ Yj (t) = rYj

(t − τ ) − Α1siZ j (t

= µ

r = A ϕ ′

(s ),

j 1

1 1

(s )µ 2

(4.28)

(4.29)

− τ ) , (4.30)

j = 1, 2, ...

Характеристическое уравнение, полученное из (4.28) подстанов-

кой Y0 ~ eχ t , имеет вид

χ + 1− r exp(− χτ ) = 0 .

Анализ этого уравнения показывает, что точка равновесия Y0 = 0 ус-

тойчива, если r < 1, апериодически неустойчива при r > 1 и колебательно-

неустойчива при r < −1 и достаточно больших τ [12]. Характеристическое

уравнение, соответствующее системе (4.29)–(4.30), записывается в виде
λ j χ 2 + (λ j + 1)χ + 1− e− χτ [r(λ j χ + 1)− F ]= 0 ,	(4.31)
F = 2A k′s .
1 1 i

Для его исследования воспользуемся методом D-разбиений [12], ко- торый заключается в выделении на плоскости параметров областей с раз- личным порядком устойчивости. Области, в которых характеристическое уравнение имеет k корней с положительной действительной частью, обо- значаются символом D(k). Поскольку границы этих областей соответст-

вуют переходу корней через мнимую ось, то в параметрическом виде они могут быть определены, если в (4.31) положить χ = i ω . При этом получа-

ется система

r(cosω τ + λ jω sinω τ )− F cosω τ = 1− λ jω 2 , r(λ jω cosω τ − sinω τ )+ F sinω τ = (λ j + 1)ω ,

определитель которой ∆ = λ jω равен нулю при ω = 0. Этому значению ω

соответствует особая прямая r = F + 1. При ω ≠ 0 границы D-областей за-

даются уравнениями

F = (1+ λ2jω )(ω cosω τ + sinωτ )∆−1,

r = [(1− λ2jω )sinω τ + (λ j + 1)ω cosωτ ] ∆−1,

lim F = F0 = τ + 1,	lim r = F0 + 1.
ω →∞	ω →∞

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

274	Глава 4
Для	примера на рис. 4.23 показано D-разбиение, полученное

при τ = 5 для значения λ = 2 . Здесь прямые 1 и 2 представляют собой гра-

фики функций r = 1+ F и r = 1+ F2 соответственно. При нахождении об-

ласти устойчивости D(0) использовано то обстоятельство, что точка F = 0 , r = 0 принадлежит ей, поскольку при этих значениях F и r оба корня уравнения (4.31) отрицательны.

D(0)

-4

-20 -16	-8	0	8	16	F
Рис. 4.23. D-разбиение на плоскости F – r (τ = 5, λ = 2):
	1 – прямая r = 1+ F ;		2 – прямая r = 1+	F
				2

Как видим, при малых перепадах давления система (4.22)–(4.23) имеет единственное устойчивое стационарное решение, соответствующее значению s = 0. Увеличение перепада давления приводит к потере устой-

чивости этого решения. Поскольку при s = 0		F = 0 ,	то это происходит
при r = A(1+ G). Одновременно появляется еще одно стационарное значе-
ние s = s1, определяемое из уравнения
A	[exp(− sn )+ G]	= 1.	(4.32)
1	1

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Глава 4

275

Это значение существует до тех пор, пока величина A1 не становится больше G1 . (Легко видеть, что при A1G > 1 уравнение (4.32) не имеет ре-

шения.) В точке s = s1

r = A	(s k	(s	))′ = A			[k		(s	)+ s k′	(s )]= 1+ F
1	1 1	1			1		1	1	1 1	1	2
											2
и F < 0, поэтому это состояние всегда неустойчиво (см. рис. 4.23).
Таким образом, при A1			>		1		система (4.21)–(4.23) не имеет устой-

				1	+ G
				1	+ G

чивых стационарных решений.

Для того чтобы проанализировать особенности процессов фильтра-

ции в области неустойчивости, вновь рассмотрим систему уравне- ний (4.21)–(4.22), которую можно переписать, используя ранее введенные

переменные, в виде

λ ∂ p =

∂

(s) ∂ p

(4.33)

∂ t

∂

∂ x

∂ s

+ s

∂

(s)

(4.34)

∂ t

∂

p′

x=0 = p′

x=1 = 0 .

(4.35)

λ . Это

Для простоты пренебрегаем в уравнении (4.33) величиной

упрощение позволяет представить нестационарные процессы, описывае- мые моделью (4.33)–(4.35), в виде эволюции пространственных структур

из «доменов», в пределах каждого из которых концентрация микрозаро-

дышей и градиент давления постоянны.

Пусть [xi−1, xi ] – интервал, занятый i-м «доменом», si и pi – кон-

центрация микрозародышей и

градиент

давления

этом

«домене»,

0 = x0 < x1 < ... < xm = 1.

Из (4.33) при λ = 0 получим цепочку равенств

k1(s1) p1 = k2 (s2 ) p2 = ... = km

(sm ) pm

или

k (s )(1 − p ) = k

)(p − p

) = k (s

m−1

(4.36)

1 1

pi = p

(s1 ) =

k1(s1 )

x= xi

, k1

(x − x

i−1

)

Решив систему (4.36) относительно pi (i = 1, ..., m–1), можно предста- вить pi в виде функций величин s1, s2, ..., sm. Подставив эти значения pi в (4.34), получим систему уравнений

dsi + s		= A ϕ	(s	(t − τ )) p2	(s (t − τ ),..., s	m	(t − τ )), i = 1, 2, ..., m,
dt	i	1 1	i	i	1	m
dt

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

276 Глава 4

которая является дискретным аналогом системы (4.33)–(4.35) в предполо- жении малости времени пьезопроводности.

Для того чтобы выявить особенности поведения системы в области неустойчивости стационарных режимов фильтрации, были проведены чис-

ленные расчеты при m = 2. Рассматривалась система двух уравнений

ds1

+ s

= A[s k

(s )(1 − p)2

]

ds2

+ s

= A[s

k (s

)p2

] ,

(4.37)

1 1

2 1

−1

k1(s2 )

A = 4 A1,

p = k

(s ) + 1

при следующих значениях параметров: n = 10, G = 0,2, τ = 5.

Расчеты показали,

что

при

A <

A(1) =

= 3,33...

система

(4.37)

+ G

имеет устойчивую точку равновесия s1 = s2 = 0, которая соответствует ста-

ционарной фильтрации со скоростью фильтрации υ = k0 p1 .

µ l

При A > A(1) , как показано выше, однородные по x распределения микрозародышей являются неустойчивыми. До тех пор пока величина A

не достигнет некоторого критического значения A(2) > A(1) , система (4.37) имеет две устойчивые точки равновесия s1 = sc , s1 = 0 , s2 = 0 , s2 = sc . То,

какая из этих точек реализируется, зависит от начальных условий: к нулю стремится та величина si, которая в начальный момент времени меньше.

Таким образом, при A(1) < A < A(2) устанавливается стационарный режим фильтрации с неоднородным распределением микрозародышей.

При A > A(2) рождаются два устойчивых предельных цикла, для ко- торых одна из величин si равна нулю, а вторая периодически изменяется.

На рис. 4.24 приведен график зависимости скорости фильтрации от време- ни υ = υ(t), полученный при A = 3,9.

При A = A(3) > A(2) начинается каскад бифуркаций удвоения перио- да, заканчивающийся при A ≈ 4,3 переходом к хаотическому движению.

Дальнейшее увеличение величины A через последовательность об- ратных бифуркаций Фейгенбаума приводит к переходу от странного ат- трактора к предельному циклу, а затем вновь через последовательность удвоений периода к хаотическому режиму колебаний, после чего притяги- вающей точкой становится бесконечность: s1, s2 → ∞ . Появление послед- ней цепочки бифуркаций, ведущей к хаосу, связано, видимо, с тем, что

при AG(1− p)2 > 1 вновь существует только одно стационарное значе-

ние s = s0 = 0.

Приведенные выше результаты расчетов позволяют сделать сле- дующие выводы.

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3627 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
21.08.2019452.81 Кб3ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ ПРИ РАЗРАБОТКЕ НЕФТЯНЫХ И ГАЗОВЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ.pdf
#
15.09.2019315.6 Кб11Производство, хранение и выдача сжиженного природного газа.pdf
#
10.08.2019638.81 Кб30Происхождение нефти и газа.pdf
#
21.08.2019677.05 Кб6происхождения нефти и газа.pdf
#
16.08.2019226.07 Кб18Процессы и аппараты нефтегазопереработки и нефтехимического синтез.pdf
#
24.08.20198.3 Mб24ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ.pdf
#
10.08.2019220.54 Кб11развитие процессов нефтегазообразования и нефтегазонакопления.pdf
#
19.08.2019608.44 Кб12РАЗЛИВЫ НЕФТИ И НЕФТЕПРОДУКТОВ.pdf
#
17.08.2019955.13 Кб36Разработка нефтяных месторождений ответы.pdf
#
18.08.2019512.21 Кб11Разработка нефтяных месторождений.pdf
#
19.08.20193.99 Mб31РАЗРАБОТКИ НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ.pdf