- •Лекція №1.Означення диференціального рівняння і розв’язку. Задача Коші. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші
- •1.Означення диференціального рівняння і розв’язку.
- •2.Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
- •3. Загальні рішення диференціального рівняння. Задача Коші.
- •Лекція №2. Рівняння з розділеними змінними. Однорідні рівняння
- •1. Рівняння з розділеними змінними.
- •2. Рівняння, що приводяться до рівнянь із розділеними змінними.
- •3.Однорідні рівняння
- •4. Рівняння, що приводяться до однорідних рівнянь.
- •Практичне заняття №1. Рівняння з розділеними змінними
- •Практичне заняття №2. Однорідні рівняння
- •Лекція №3. Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Рікатті-Буля
- •1. Лінійні рівняння першого порядку.
- •2. Рівняння Бернуллі.
- •3. Рівняння Рікатті – Буля.
- •4.Рівняння в повних диференціалах.
- •Практичне заняття №3.Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі
- •Лекція №4.Особливі точки. Особливі рішення. Рівняння Клеро
- •Особливі точки. Особливі рішення.
- •2. Огибаюча сімейства кривих. Рівняння Клеро.
- •Практичне заняття №4. Рівняння Клеро
- •Лекція №5. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші. Рівняння п-го порядку
- •1. Системи диференціальних рівнянь. Теорема існування та єдиності.
- •2. Рівняння n-го порядку.
- •3. Загальні способи зниження порядку рівняння
- •Практичне заняття №5. Рівняння п-го порядка. Способи зниження порядка
- •Лекція №6. Лінійні рівняння n-го порядку. Системи лінійно незалежних функцій
- •1. Лінійні та однорідні рівняння n-го порядку.
- •2. Системи лінійно незалежних функцій.
- •Лекція №7. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами
- •1. Формула Остроградського – Ліувілля та її застосування для розв’язку рівняння другого порядка.
- •Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами.
- •Практичне заняття №6. Лінійне однорідне рівняння. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами
- •Лекція №8. Лінійні неоднорідні рівняння n - го порядку. Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс
- •1. Загальний вигляд рішення лінійного неоднорідного рівняння.
- •2. Метод невизначених коефіцієнтів.
- •3. Знаходження рішення неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами для спеціальної правої частини.
- •4.Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс.
- •Практичне заняття №7. Неоднорідні лінійні рівняння
- •Лекція №9. Системи п звичайних диференційних рівнянь. Лінійні рівняння з частинними похідними першого порядку
- •1. Системи звичайних диференційних рівнянь
- •2. Лінійні рівняння з частинними похідними.
- •3.Загальний випадок лінійного рівняння.
- •Практичне заняття №8. Система диференційних рівнянь. Диференційні рівняння у частинних похідних першого порядку
- •2. Рівняння у частинних похідних першого порядку. Означення. Розв’язок.
- •Лекція №10. Класифікація рівнянь у частинних похідних другого порядку. Диференційні рівняння з двома змінними
- •1.Визначення рівняння другого порядку з двома змінними у частинних похідних.
- •2.Класифікація рівнянь.
- •Лекція №11. Рівняння гіперболічного типу. Постановка крайової задачі. Теорема єдиності розв’язку
- •1. Постановка крайової задачі.
- •Лекція №12. Редукція, загальної задачі. Задачі на прямій і напівпрямій. Формула Даламбера, метод продовження
- •1.Редукція, загальної задачі.
- •2. Формула Даламбера.
- •3. Крайова задача для напівпрямої, і метод продовжень.
- •Практичне заняття №9. Типи рівнянь другого порядку у частинних похідних. Рівняння коливання струни. Формула Даламбера
- •Лекція №13. Неоднорідні гіперболічні, рівняння на прямій і піввісі. Метод Фур’є розділення змінних
- •1. Неоднорідні гіперболічні рівняння на прямій і піввісі.
- •2. Метод розділення змінних.
- •Лекція №14. Перша крайова задача для гіперболічного рівняння
- •1.Неоднорідне рівняння з нульовими граничними умовами.
- •2.Перша крайова задача.
- •Практичне заняття №10. Метод Фур’є. Гіперболічні рівняння
- •3. Розв’язання першої крайової задачі у загальному випадку.
- •Лекція №15. Рівняння параболічного типу
- •1.Постанова крайових задач.
- •2. Єдиність розв’язку.
- •3. Метод розділення змінних.
- •Лекція №16. Перша крайова задача для рівняння параболічного виду
- •1. Неоднорідна задача з нульовими початковими і граничними умовами.
- •2. Перша крайова задача.
- •3. Задачі на нескінченій та напівнескінечній прямій.
- •Лекція №17. Рівняння еліптичного типу
- •1. Постановка крайових задач.
- •2. Перша крайова задача для круга. Інтеграл Пуассона.
- •3. Частинний розв’язок рівняння Лапласа.
- •Практичне заняття №11. Параболічні та еліптичні рівняння
- •Література:
Лекція №7. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами
1. Формула Остроградського – Ліувілля та її застосування для розв’язку рівняння другого порядка.
Теорема (Остроградського – Ліувілля). Нехай дано однорідне рівняння
y +p (x)y +…+p (x)y=0, де p …p –неперервні на [a;b] і (y ,…,y )–фундаментальна система рішень, тоді справедлива формула W(х)=с , (с – довільна константа), або W(х)= W( ) .
Доведення. Враховуючи властивості визначника і диференціювання, а також той факт, що y ,…,y є рішення даного рівняння, отримаємо
.
Отже, визначник Вронского задовольняє наступне рівняння W′ = - p (x)W. Розв’язуючи яке будемо мати W(x) = с , або W(x) = W( )с .
Зауваження. Розглянемо y′′+p (x)y′+p (x)y=0 – рівняння другого порядку, тоді, якщо у - будь-який розв’язок рівняння, то можна знайти загальне рішення в такий спосіб. Нехай у - загальне рішення, розглянемо рівність
.
Отже, відносно у отримаємо рівняння першого порядку yy′ - y′y =c , розв’язуючи яке знайдемо загальний розв’язок вихідного рівняння.
Приклад. y′′+y′ - =0. За допомогою підстановки легко довести, що y=x рішення рівняння. Відповідне рівняння для загального рішення даного рівняння має вид y -y′x= – лінійне рівняння першого порядку. Для його розв’язку знайдемо розв’язок рівняння y′x=y або . Отже y=cx. Загальний розв’язок рівняння шукаємо у вигляді y=c(x) x, де c(x) невідома функція. Підставляючи цей y у рівняння отримаємо
c′x²+c(x) x – c(x) x+ =0, тобто c′= . Отже c(x) = dx і y= dx.
Зауваження. Аналогічно можна застосовувати формулу і у випадку рівняння n-го порядку коли відомі будь-які незалежні рішення рівняння, що буде приводити до зниження порядка рівняння на 1.
Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами.
Задача знаходження фундаментальної системи рішень, а отже й загального рішення, спрощується у випадку рівняння з постійними коефіцієнтами.
Означення. Рівняння виду y +a y +…+a y=0, де а ,…,а – довільні константи, називається лінійним однорідним рівнянням з постійними коефіцієнтами.
Рішення рівняння шукають у вигляді у= . Підставляючи у= у рівняння отримаємо, що k задовольняє рівнянню kⁿ+a k +…+a =0.
Означення. Рівняння kⁿ+a k +…+a =0 називають характеристичним рівнянням для даного диференціального рівняння.
Існує декілька випадків відносно розв’язка характеристичного рівняння.
1. Характеристичне рівняння має n різних дійсних коренів . Розглянемо функції у = ,…, у = усі вони є рішеннями даного диференціального рівняння і лінійно незалежні, оскільки
.
Отже у = ,…, у = - фундаментальна система рішень і у=с +…+с – загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.
2. Припустимо, що якийсь корінь ki дійсний, але має кратність p. Тоді – лінійно незалежна система функцій, які також являються рішеннями вихідного рівняння, що не важко перевірити підставляючи їх у рівняння, враховуючи кратність ki . Загальний розв’язок рівняння будується аналогічно 1 з урахуванням вище сказаного.
3. Припустимо, що характеристичне рівняння має комплексний корінь k =α+βi, тоді спряжене число k =α-βi теж корінь характеристичного рівняння. Цім кореням відповідають дві функції , в фундаментальній системі розв’язків.
Скористувавшись формулами Ейлера ці функції можна замінити на дійснозначні. Оскільки
= (cosβx+isinβx) , = (cosβx-isinβx) , то ,
, або у = cosβx , у =sinβx – рішення рівняння і лінійно незалежні. Загальний розв’язок будується аналогічно 1.
4. Якщо комплексний корінь k =α+βi має кратність p, спряжений корінь k =α-βi теж має кратність p. Тоді аналогічно випадкам 2 і 3 цім кореням відповідає система лінійно незалежних рішень рівняння:
cosβx , xcosβx ,…, cosβx , sinβx ,xsinβx ,…, sinβx , за допомогою яких і будується загальне рішення.