3. Знаходження рішення неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами для спеціальної правої частини.

Нижче розглянемо три випадки правої частини лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами при яких розвязок рівняння має спеціальний вид. Отже, нехай маємо лінійне рівняння з постійними коефіцієнтами y + y +…+ y=f(x) ( - константи).

1. Нехай f(х)=Ps(x)= многочлен порядка .

a) Якщо a ≠0, то шукаємо у вигляді = = , де невідомі коефіцієнти які легко знайти якщо підставити у рівняння і прирівняти коефіцієнти при однакових степенях х в лівій і правій частинах.

б) Якщо a = a =…=a =0 і a ≠0, то шукаємо у вигляді = (спосіб знаходження той же що і в а ).

2. Нехай f(х)= (x).

a) Якщо р не буде коренем характеристичного рівняння , то шукаємо у вигляді = (де розшукується аналогічно 1).

б) Якщо р - корінь порядка характеристичного рівняння ,то = .

3. Нехай f(x)= ( ), де P (x), - відомі многочлени порядка не вище ( – найбільший порядок з двох).

а)Якщо не буде коренем характеристичного рівняння, то = , де М (x), - невизначені многочлени порядка S. Коефіцієнти многочленів М (x), знаходимо підставляючи у рівняння і прирівнюючи коефіцієнти при додатках в лівій і правій частинах.

б) Якщо - корінь порядка характеристичного рівняння, то = . Знаходження М (x) і аналогічно а).

4.Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс.

Розглянемо процес коливання пружинного маятника масою m, якщо коефіцієнт пружності пружини k. Треба знайти координату маятника х(t), що залежить від часу. З механіки відомо, що в будь-який момент часу на маятник діє дві сили і (сила супротиву), також , тобто х(t) задовольняє рівнянню + =0, або . Характеристичне рівняння має вид , отже загальне рішення x(t)=c cos +c sin = = , при , , .

Зауважимо, що r називають амплітудою коливання, - власною частотою коливання, - початкова фаза коливання. З рішення видно, що власна частота коливання не залежить від початкових умов , а залежить тільки від k і m. Початкові умови впливають на амплітуду і початкову фазу коливання.

Якщо на маятник діє додаткова сила f(t), то і рівняння прийме вигляд . Розглянемо випадок гармонічного осцилятора , тобто коли , де - константи.

Припустимо,що . Згідно зі сказаним раніше, , де , , що не важко перевірити підставляючи в рівняння. Отже і амплітуда коливання буде зростати з наближенням до (частоти збуджуючої сили до власної частоти маятника).

Якщо розглядати випадок (оскільки i - розв’язок характеристичного рівняння), то загальний розвязок рівняння буде мати вигляд , де деякі константи. З виду х(t) зрозуміло, що амплітуда коливання буде необмежено зростати з перебігом часу. Це явище називають резонансом.