3. Частинний розв’язок рівняння Лапласа.

Цікавість представляє розв’язок рівняння Лапласа, що володіє циліндричною симетрією (тобто, залежать виключно від , наприклад при граничних даних, що не залежать від ).

Рівняння прийме вигляд отже .

Приклад. Знайти розподіл тепла на кільці , якщо .

Розв’язок. Оскільки граничні умови не залежать від то тоді виконуються рівності , . Отже і маємо .

Практичне заняття №11. Параболічні та еліптичні рівняння

Необхідні відомості: 1. Розв’язання першої крайової задачі для параболічного рівняння.

2. Розв’язання параболічного рівняння на осі та напівосі. Інтеграл Пуассона.

3. Розв’язок рівняння Лапласа. Інтеграл Пуассона.

Задачі.

1.1 Розв’язати рівняння , якщо

.

1.2 Розв’язати , , якщо

1.3 Розв’язати , , якщо

2.1 Знайти стаціонарний розподіл тепла на пластині у формі круга радіуса 1, якщо верхня половина має температуру , а нижня .

2.2 Знайти розподіл тепла на кільці , якщо

.

Задачі для самостійної роботи.

1. Розв’язати , , , якщо

2. Розв’язати рівняння , якщо

.

3. Знайти розподіл тепла для напівскінченного стержня, якщо лівий край х=0 теплоізольовано, а початкова умова: ,

(дивіться задачу 2).

4. Розв’язати , , якщо

5. Розв’язати , , якщо

6. Розв’язати , , якщо .

7. Знайти розподіл тепла на кругу радіуса , якщо на граничному колі підтримується температура

8. Знайти розподіл тепла на кільці , якщо .

9. Знайти стаціонарний розподіл тепла у тонкому стержні з темплоізольованою боковою поверхнею, якщо на кінцях , .

10. Знайти розв’язок рівняння Лапласа, для внутрішньої частини кільця , що задовольняє крайовим умовам

(перейти до полярних координат, та з’ясувати у якому вигляді треба шукати розв’язок).

11. Знайти розв’язок рівняння Лапласа для внутрішньої частини кільця , що задовольняє крайовим умовам

, .

12. Розв’язати задачу 11 для крайових умов

, .

Література:

1. Понтрячин Л.С Обыкновенные дифференциальные уравнения. – Наука, М., 1970, 331с.

2. Эльсгольш Л.Э Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – Наука, М., 1969, 423с.

3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – Наука, М., 1970, 279с.

4. Смирнов В.И Курс высшей математики Т2. – Наука, М., 1974, 655с.

5. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики. – Наука, М., 1972, 735с.

6. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – Наука, М., 1969, 439с.

7. Будак Б.М Самарский А.А, Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. – Наука, 1972, 687с.