Практичне заняття №1. Рівняння з розділеними змінними

Необхідні відомості: 1. Означення диференціального рівняння та розв’язка.

2. Означення рівняння з розділеними змінними та метод його розв’язку.

Задачі.

1. Знайти загальне рішення диференціального рівняння

1. xyy′= 1-x , 2. ху′+у=у

2. Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє початковими умовами

y′sin x=yln y;

3. Матеріальна точка масою 1г рухається прямолінійно під дією сили, прямо пропорційної часу, відлічуваного від моменту t=0, і обернено пропорційної швидкості руху точки. У момент t=10сек швидкість рівнялася 0,5м/сек, а сила - 4∙ н. Яка буде швидкість через хвилину після початку руху?

4. Моторний човен рухається в спокійній воді зі швидкістю v=10км/год. На повному ходу її мотор був виключений, і через t=20сек швидкість човна зменшилася до v =6км/год. Вважаючи, що сила опору води руху човна пропорційна її швидкості, знайти швидкість човна через 2хв після зупинки мотора; знайти також відстань, пройдену човном протягом однієї хвилину після зупинки мотора.

5. За допомогою заміни шуканої функції привести дані рівняння до рівнянь із розділеними змінними й вирішити їх.

1. y′=3х-2у+5, 2. =х+у-1

Задачі для самостійної роботи.

Знайти загальні рішення диференціальних рівнянь.

1. (xy +x)dx+( y- x y)dy=0

2. y′tg x-y=a

3. y′+sin( )=sin( )

4. yy′=

5. Залежність між швидкістю v снаряда й пройденим шляхом l у каналі знаряддя встановлюються в балістиці наступним рівнянням: v= , де v= і n<1. Знайти залежність між часом t руху снаряда й пройденою відстанню l у каналі.

6. Знайти приватні рішення диференціальних рівнянь, що задовольняють даним початковим умовам.

1. sin y∙ cos x dy=cos y∙ sin xdx; y| =

2. y - xy′=b(1+x²y′); y| =1

7. Знайти лінію, що проходить через точку (2;3) і обладающую тією властивістю, що відрізок будь-якій її дотичній, ув'язнений між координатними осями, ділиться навпіл у точці торкання.

8. Знайти лінію, що проходить через точку (2;0) і обладающую тією властивістю, що відрізок дотичної між точкою торкання й віссю ординат має постійну довжину, рівну двом.

9. Знайти всі лінії, у яких відрізок дотичної між точкою торкання й віссю абсцис ділиться навпіл у точці перетинання з віссю ординат.

10. Знайти лінію, у якої довжина нормалі (відрізок її від точки лінії до осі абсцис) є постійна величина а.

11. Матеріальна точка рухається прямолінійно, причому так, що її кінетична енергія в момент t прямо пропорційна середньої швидкості руху в інтервалі часу від нуля до t. Відомо, що при t=0 шлях s=0. Показати, що рух рівномірний.

12. У дні циліндричної посудини з поперечним перерізом S і вертикальною віссю є малий круглий отвір площею q, закрите діафрагмою (як в об'єктива фотоапарата). У посудину налита рідина до висоти h. У момент t=0 діафрагма починає відкриватися, причому площа отвору пропорційна часу й повністю отвір відкривається за T сек. Яка буде висота H рідини в посудині через T сек після початку досліду?

Розв’язати рівняння за допомогою заміни змінної. 13. 14. (х+у+1)dx=(2х+2у-1)dy 15. 16. 17. 18.